1 pt. As raízes da equação característica de uma equação diferencial linear homogênea de sexta ordem, com coeficientes constantes, são r1 = -3, r2 = 2, r3 = 1 + 2i, r4 = 1 - 2i e r5 = r6 = 4. Qual é a solução geral dessa equação?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial linear homogênea de sexta ordem com coeficientes constantes. As raízes da equação característica são dadas como , , , e . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando conhecimentos de equações diferenciais e teoria das equações características.

Passo 2

Primeiro, lembramos que para cada raiz distinta da equação característica, a solução geral inclui um termo da forma . Assim, para as raízes reais e , temos os termos e .

Passo 3

Agora, observamos as raízes complexas e . Quando temos pares de raízes complexas da forma , a solução correspondente é dada por:
No nosso caso, e , então os termos serão e .

Passo 4

Finalmente, temos as raízes repetidas . Quando uma raiz real se repete, a solução geral inclui termos multiplicados por para cada repetição adicional. Assim, para a raiz com multiplicidade 2, os termos serão e .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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