As raízes da equação característica de uma equação diferencial linear homogênea de sexta ordem, com coeficientes constantes, são
e
. Qual é a solução geral dessa equação?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial linear homogênea de sexta ordem com coeficientes constantes. As raízes da equação característica são dadas como
,
,
,
e
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando conhecimentos de equações diferenciais e teoria das equações características.
Passo 2
Primeiro, lembramos que para cada raiz distinta
da equação característica, a solução geral inclui um termo da forma
. Assim, para as raízes reais
e
, temos os termos
e
.
Passo 3
Agora, observamos as raízes complexas
e
. Quando temos pares de raízes complexas da forma
, a solução correspondente é dada por:
No nosso caso,
e
, então os termos serão
e
.
Passo 4
Finalmente, temos as raízes repetidas
. Quando uma raiz real se repete, a solução geral inclui termos multiplicados por
para cada repetição adicional. Assim, para a raiz
com multiplicidade 2, os termos serão
e
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Dada a função
, encontrar
e
.
Determine a ordem, o grau, a linearidade e se é homogênea a equação diferencial
Calcule a derivada de cada função abaixo:
.
Determinar os pontos de máximo e mínimo da função dada, sujeita às restrições indicadas:
b) .
b)