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Determine a ordem, o grau, a linearidade e se é homogênea a equação diferencial
t^5 y^(4) - t^3 y'' + 6 y = 3 t

Passo 1

Beleza, o que a questão quer é que a gente descubra quatro coisas sobre a equação diferencial que foi dada: a ordem, o grau, se ela é linear e se é homogênea. Para isso, vamos analisar cada parte da equação passo a passo usando conceitos básicos de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre ordem. A ordem de uma equação diferencial é determinada pelo maior derivado presente nela. Olhando para a equação:
Vemos que temos até a quarta derivada de , que é . Portanto, a ordem da equação é 4.

Passo 3

Agora, vamos para o grau da equação diferencial. O grau é o expoente do maior derivado quando a equação está organizada como um polinômio em relação aos derivados de . Na nossa equação, o termo com a maior derivada é e ele está elevado a 1. Então, o grau da equação é 1.

Passo 4

Vamos ver se a equação é linear. Uma equação diferencial é linear se todos os termos envolvendo e suas derivadas aparecem apenas na primeira potência e não são multiplicados entre si ou por funções de . Na nossa equação:
Cada termo com ou suas derivadas está na primeira potência e não há produtos entre eles. Mesmo que estejam multiplicados por funções de , isso não afeta a linearidade. Portanto, a equação é linear.

Passo 5

Por último, vamos determinar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se todos os termos contêm a função ou suas derivadas, ou seja, se não há um termo livre (que não depende de ). Observando a equação:
O termo não envolve nem suas derivadas, então a equação não é homogênea.

Resposta

Ordem: 4; Grau: 1; A equação é linear e não homogênea.

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