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Determine a ordem, o grau, a linearidade e se é homogênea a equação diferencial
Determine a ordem, o grau, a linearidade e se é homogênea a equação diferencial
Passo 1
Beleza, o que a questão quer é que a gente descubra quatro coisas sobre a equação diferencial que foi dada: a ordem, o grau, se ela é linear e se é homogênea. Para isso, vamos analisar cada parte da equação passo a passo usando conceitos básicos de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre ordem. A ordem de uma equação diferencial é determinada pelo maior derivado presente nela. Olhando para a equação:
Vemos que temos até a quarta derivada de
, que é
. Portanto, a ordem da equação é 4.
Passo 3
Agora, vamos para o grau da equação diferencial. O grau é o expoente do maior derivado quando a equação está organizada como um polinômio em relação aos derivados de
. Na nossa equação, o termo com a maior derivada é
e ele está elevado a 1. Então, o grau da equação é 1.
Passo 4
Vamos ver se a equação é linear. Uma equação diferencial é linear se todos os termos envolvendo
e suas derivadas aparecem apenas na primeira potência e não são multiplicados entre si ou por funções de
. Na nossa equação:
Cada termo com
ou suas derivadas está na primeira potência e não há produtos entre eles. Mesmo que estejam multiplicados por funções de
, isso não afeta a linearidade. Portanto, a equação é linear.
Passo 5
Por último, vamos determinar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se todos os termos contêm a função
ou suas derivadas, ou seja, se não há um termo livre (que não depende de
). Observando a equação:
O termo
não envolve
nem suas derivadas, então a equação não é homogênea.
Resposta
Ordem: 4; Grau: 1; A equação é linear e não homogênea.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo:
.
- Um tanque cilíndrico em uma fábrica química deve conter
de um líquido corrosivo. Devido ao custo do material, é desejável minimizar a área do tanque. Encontre o raio e a altura ótimos e determine a área resultante.
Dada a função
, encontrar
e
.