Determinar os pontos de máximo e mínimo da função dada, sujeita às restrições indicadas:
b) f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 ; x + y + z = 9.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e uma restrição . Nosso objetivo aqui é encontrar os pontos onde essa função atinge seus valores máximos e mínimos, respeitando essa condição que a soma de , e é igual a 9. Para resolver isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica bacana para otimizar funções com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são os multiplicadores de Lagrange. Esse método nos ajuda a encontrar os extremos (mínimos e máximos) de uma função sujeita a uma ou mais restrições. A ideia é criar uma nova função chamada de função de Lagrange, que combina nossa função original com a restrição, usando um multiplicador (geralmente representado por ).

Passo 3

Vamos montar a função de Lagrange para o nosso problema. A função de Lagrange fica assim:
Aqui, é o multiplicador de Lagrange, e incluímos a restrição .

Passo 4

Agora, para encontrar os pontos críticos, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a , , e e igualar a zero.
Então, temos:

Passo 5

Vamos resolver essas equações. Das equações (1), (2) e (3), podemos ver que:
Isso implica que , ou seja, .

Passo 6

Sabendo que , vamos usar a restrição da equação (4):
Substituindo e por :
Portanto, .

Passo 7

Agora, vamos verificar se esse ponto é um mínimo ou máximo. Considerando que a função é uma soma de quadrados, ela sempre será maior ou igual a zero e atinge seu mínimo quando cada uma das variáveis for zero. No nosso caso, como temos a restrição , o menor valor possível para ocorre quando .
Como a soma dos quadrados aumenta à medida que as variáveis se afastam desse ponto, esse é o ponto de mínimo sujeito à restrição dada.

Resposta

O ponto de mínimo da função sujeito à restrição ocorre em .

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