Determinar os pontos de máximo e mínimo da função dada, sujeita às restrições indicadas:
b)
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
e uma restrição
. Nosso objetivo aqui é encontrar os pontos onde essa função atinge seus valores máximos e mínimos, respeitando essa condição que a soma de
,
e
é igual a 9. Para resolver isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica bacana para otimizar funções com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são os multiplicadores de Lagrange. Esse método nos ajuda a encontrar os extremos (mínimos e máximos) de uma função sujeita a uma ou mais restrições. A ideia é criar uma nova função chamada de função de Lagrange, que combina nossa função original com a restrição, usando um multiplicador (geralmente representado por
).
Passo 3
Vamos montar a função de Lagrange para o nosso problema. A função de Lagrange
fica assim:
Aqui,
é o multiplicador de Lagrange, e incluímos a restrição
.
Passo 4
Agora, para encontrar os pontos críticos, vamos calcular as derivadas parciais da função
em relação a
,
,
e
e igualar a zero.
Então, temos:
Passo 5
Vamos resolver essas equações. Das equações (1), (2) e (3), podemos ver que:
Isso implica que
, ou seja,
.
Passo 6
Sabendo que
, vamos usar a restrição da equação (4):
Substituindo
e
por
:
Portanto,
.
Passo 7
Agora, vamos verificar se esse ponto é um mínimo ou máximo. Considerando que a função
é uma soma de quadrados, ela sempre será maior ou igual a zero e atinge seu mínimo quando cada uma das variáveis for zero. No nosso caso, como temos a restrição
, o menor valor possível para
ocorre quando
.
Como a soma dos quadrados aumenta à medida que as variáveis se afastam desse ponto, esse é o ponto de mínimo sujeito à restrição dada.
Resposta
O ponto de mínimo da função
sujeito à restrição
ocorre em
.