Dada a função f(x, y)=xy+x^2+y^2, com x=r cos theta, y=r sen theta, encontrar partial fpartial r e partial fpartial theta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e as relações de coordenadas polares e . O que a gente precisa fazer é encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e . Para isso, vamos usar a substituição das coordenadas cartesianas para polares e depois aplicar as regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir f(r, theta) = r cos thetar sin theta + (r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 e f(r, theta) = cos thetasin theta + r^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta em termos de e na função . Assim:
Simplificando cada termo:

Passo 3

Vamos simplificar mais a função. Sabemos que f(r, theta) = cot theta + r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = cot theta + r^2 e que . Então:
Agora a função está mais simples para derivarmos.

Passo 4

Vamos calcular a derivada parcial em relação a partial fpartial r = partialpartial r (cot theta) + partialpartial r (r^2) = 0 + 2r = 2r , ou seja, . Olhando para a função simplificada , percebemos que é uma constante em relação a . Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a partial fpartial theta = partialpartial theta (cot theta) + partialpartial theta (r^2) = -csc^2 theta + 0 = -csc^2 theta , ou seja, . A função é . O termo é constante em relação a , então derivamos apenas :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial r = 2r
e
partial fpartial theta = -csc^2 theta

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