Dada a função
, encontrar
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e as relações de coordenadas polares
e
. O que a gente precisa fazer é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, ou seja,
e
. Para isso, vamos usar a substituição das coordenadas cartesianas para polares e depois aplicar as regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
e
em termos de
e
na função
. Assim:
Simplificando cada termo:
Passo 3
Vamos simplificar mais a função. Sabemos que
e que
. Então:
Agora a função está mais simples para derivarmos.
Passo 4
Vamos calcular a derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Olhando para a função simplificada
, percebemos que
é uma constante em relação a
. Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, ou seja,
. A função é
. O termo
é constante em relação a
, então derivamos apenas
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
Exercícios relacionados
Determine a ordem, o grau, a linearidade e se é homogênea a equação diferencial
Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo:
.
Calcule a derivada de cada função abaixo:
.