• ([1], seção 16.4) ([2], seção 8.2) Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
    é a elipse .

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa calcular uma integral de linha ao longo da curva , que é uma elipse definida pela equação . A orientação é positiva, ou seja, no sentido anti-horário. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva. Basicamente, vamos transformar a integral de linha em uma integral dupla mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na nossa integral de linha. A integral que temos é:
Aqui, podemos ver que:
O Teorema de Green nos diz que:
Onde é a região dentro da curva .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
  1. Derivada parcial de em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:

Passo 4

Com isso, a integral dupla fica:
Isso significa que a integral de linha original também é igual a zero, já que a integral dupla resultou em zero.

Resposta

A integral de linha vale 0.

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Resolva.
Em cada um dos itens abaixo, determinar a integral : e o caminho poligonal que une o ponto ao ponto , passando por .
Prove por indução as desigualdades
c)
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a)