- ([1], seção 16.4) ([2], seção 8.2) Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
é a elipse
.
Passo 1
E aí! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa calcular uma integral de linha ao longo da curva
, que é uma elipse definida pela equação
. A orientação é positiva, ou seja, no sentido anti-horário. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva. Basicamente, vamos transformar a integral de linha em uma integral dupla mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na nossa integral de linha. A integral que temos é:
Aqui, podemos ver que:
O Teorema de Green nos diz que:
Onde
é a região dentro da curva
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
Passo 4
Com isso, a integral dupla fica:
Isso significa que a integral de linha original também é igual a zero, já que a integral dupla resultou em zero.
Resposta
A integral de linha
vale 0.
Exercícios relacionados
Resolva.
Em cada um dos itens abaixo, determinar a integral
:
e
o caminho poligonal que une o ponto
ao ponto
, passando por
.
Prove por indução as desigualdades
c)
c)
Prove por indução as desigualdades
a)
a)