• ([1], seção 16.4) ([2], seção 8.2) Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
    star integralC sen y d x+x cos y d y, C é a elipse x^2+x y+y^2=1.

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa calcular uma integral de linha ao longo da curva , que é uma elipse definida pela equação . A orientação é positiva, ou seja, no sentido anti-horário. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva. Basicamente, vamos transformar a integral de linha em uma integral dupla mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções ointC sin y , dx + x cos y , dy e ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA na nossa integral de linha. A integral que temos é:
Aqui, podemos ver que:
O Teorema de Green nos diz que:
Onde é a região dentro da curva .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
  1. Derivada parcial de partial Qpartial x = partialpartial x (x cos y) = cos y em relação a partial Ppartial y = partialpartial y (sin y) = cos y :
partial Qpartial x - partial Ppartial y = cos y - cos y = 0
  1. Derivada parcial de em relação a :
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:

Passo 4

Com isso, a integral dupla fica:
integral duplaD 0 , dA = 0
Isso significa que a integral de linha original também é igual a zero, já que a integral dupla resultou em zero.

Resposta

A integral de linha vale 0.

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