Resolva.

Passo 1

A gente tem a equação diferencial . Isso faz parte do estudo de equações diferenciais, que servem para encontrar funções desconhecidas a partir de suas derivadas. Para resolver essa equação, vamos usar o método das equações lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação no padrão das equações lineares: . No nosso caso, a equação fica:
Aqui, e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante ( ), que nos ajuda a simplificar a equação. Ele é calculado pela fórmula:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso transforma a equação em:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integração do lado esquerdo simplifica para:

Passo 6

Para resolver , usamos integração por partes. Escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Substituímos de volta na equação:
Dividindo os dois lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo, determinar a integral : e o caminho poligonal que une o ponto ao ponto , passando por .
Calcule as seguintes integrais curvilíneas abaixo, usando o Teorema de Green: , ao longo do triângulo de vértices , no sentido anti-horário.
  • ([1], seção 16.4) ([2], seção 8.2) Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
    é a elipse .
Prove por indução as desigualdades
c)