Resolva.
Passo 1
A gente tem a equação diferencial
. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais, que servem para encontrar funções desconhecidas a partir de suas derivadas. Para resolver essa equação, vamos usar o método das equações lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação no padrão das equações lineares:
. No nosso caso, a equação fica:
Aqui,
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante (
), que nos ajuda a simplificar a equação. Ele é calculado pela fórmula:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso transforma a equação em:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integração do lado esquerdo simplifica para:
Passo 6
Para resolver
, usamos integração por partes. Escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Substituímos de volta na equação:
Dividindo os dois lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo, determinar a integral
:
e
o caminho poligonal que une o ponto
ao ponto
, passando por
.
Calcule as seguintes integrais curvilíneas abaixo, usando o Teorema de Green:
, ao longo do triângulo de vértices
, no sentido anti-horário.
- ([1], seção 16.4) ([2], seção 8.2) Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
é a elipse .
Prove por indução as desigualdades
c)
c)