Prove por indução as desigualdades
c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai provar por indução que a soma dos inversos dos quadrados até é menor que para todo . O conteúdo aqui é de matemática discreta, mais especificamente prova por indução. Vamos precisar entender como funciona a indução matemática e aplicar algumas manipulações algébricas básicas para chegar na nossa conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos testar se a afirmação funciona para o caso inicial, ou seja, . Isso é importante porque na indução, a gente começa verificando se a afirmação é verdadeira para o primeiro valor válido de .
Calculemos a soma para :
Agora, vamos verificar se isso é menor que :
Como , a desigualdade vale para .

Passo 3

Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum número . Isso é o que chamamos de hipótese de indução. Ou seja, estamos assumindo que:
Nosso objetivo é usar essa suposição para provar que a afirmação também é verdadeira para .

Passo 4

Vamos calcular a soma até :
Pela hipótese de indução, sabemos que . Então substituindo:
Nosso objetivo agora é mostrar que isso é menor que , ou seja:

Passo 5

Vamos simplificar a desigualdade:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembre-se que isso inverte a desigualdade):

Passo 6

Agora, vamos rearranjar a expressão:
Para facilitar, vamos encontrar um denominador comum para os termos à esquerda:
Então a desigualdade fica:
Comparando os denominadores, temos que para todo , já que .

Passo 7

Como , então:
Isso confirma que a nossa desigualdade é verdadeira, ou seja:
Portanto, a afirmação é válida para se ela for válida para .

Resposta

Assim, por indução, a desigualdade é verdadeira para todo .

Exercícios relacionados

  • ([1], seção 16.4) ([2], seção 8.2) Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
    é a elipse .
Resolva.
Prove por indução as desigualdades
a)
Utilize o PIF para provar que as propriedades abaixo valem para todo natural
d)