Prove por indução as desigualdades
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai provar por indução que a soma dos inversos dos quadrados até
é menor que
para todo
. O conteúdo aqui é de matemática discreta, mais especificamente prova por indução. Vamos precisar entender como funciona a indução matemática e aplicar algumas manipulações algébricas básicas para chegar na nossa conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos testar se a afirmação funciona para o caso inicial, ou seja,
. Isso é importante porque na indução, a gente começa verificando se a afirmação é verdadeira para o primeiro valor válido de
.
Calculemos a soma para
:
Agora, vamos verificar se isso é menor que
:
Como
, a desigualdade vale para
.
Passo 3
Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum número
. Isso é o que chamamos de hipótese de indução. Ou seja, estamos assumindo que:
Nosso objetivo é usar essa suposição para provar que a afirmação também é verdadeira para
.
Passo 4
Vamos calcular a soma até
:
Pela hipótese de indução, sabemos que
. Então substituindo:
Nosso objetivo agora é mostrar que isso é menor que
, ou seja:
Passo 5
Vamos simplificar a desigualdade:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembre-se que isso inverte a desigualdade):
Passo 6
Agora, vamos rearranjar a expressão:
Para facilitar, vamos encontrar um denominador comum para os termos à esquerda:
Então a desigualdade fica:
Comparando os denominadores, temos que
para todo
, já que
.
Passo 7
Como
, então:
Isso confirma que a nossa desigualdade é verdadeira, ou seja:
Portanto, a afirmação é válida para
se ela for válida para
.
Resposta
Assim, por indução, a desigualdade
é verdadeira para todo
.
Exercícios relacionados
- ([1], seção 16.4) ([2], seção 8.2) Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
é a elipse .
Resolva.
Prove por indução as desigualdades
a)
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Utilize o PIF para provar que as propriedades abaixo valem para todo natural
d)
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