Prove por indução as desigualdades
c) sumi=1^n 1i^2<2-1n, forall n>1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai provar por indução que a soma dos inversos dos quadrados até é menor que para todo . O conteúdo aqui é de matemática discreta, mais especificamente prova por indução. Vamos precisar entender como funciona a indução matemática e aplicar algumas manipulações algébricas básicas para chegar na nossa conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos testar se a afirmação funciona para o caso inicial, ou seja, sumi=1^2 1i^2 = 11^2 + 12^2 = 1 + 14 = 54 = 1,25 . Isso é importante porque na indução, a gente começa verificando se a afirmação é verdadeira para o primeiro valor válido de 2 - 12 = 42 - 12 = 32 = 1,5 .
Calculemos a soma para :
Agora, vamos verificar se isso é menor que :
Como , a desigualdade vale para .

Passo 3

Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum número sumi=1^k 1i^2 < 2 - 1k . Isso é o que chamamos de hipótese de indução. Ou seja, estamos assumindo que:
Nosso objetivo é usar essa suposição para provar que a afirmação também é verdadeira para .

Passo 4

Vamos calcular a soma até sumi=1^k+1 1i^2 = sumi=1^k 1i^2 + 1(k+1)^2 :
sumi=1^k+1 1i^2 < (2 - 1k) + 1(k+1)^2
Pela hipótese de indução, sabemos que (2 - 1k) + 1(k+1)^2 < 2 - 1k+1 . Então substituindo:
Nosso objetivo agora é mostrar que isso é menor que , ou seja:

Passo 5

Vamos simplificar a desigualdade:
2 - 1k + 1(k+1)^2 < 2 - 1k+1
Subtraindo 2 de ambos os lados:
- 1k + 1(k+1)^2 < - 1k+1
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembre-se que isso inverte a desigualdade):
1k - 1(k+1)^2 > 1k+1

Passo 6

Agora, vamos rearranjar a expressão:
1k - 1k+1 > 1(k+1)^2
Para facilitar, vamos encontrar um denominador comum para os termos à esquerda:
(k+1) - kk(k+1) = 1k(k+1)
Então a desigualdade fica:
1k(k+1) > 1(k+1)^2
Comparando os denominadores, temos que para todo , já que .

Passo 7

Como 1k(k+1) > 1(k+1)^2 , então:
sumi=1^k+1 1i^2 < 2 - 1k+1
Isso confirma que a nossa desigualdade é verdadeira, ou seja:
Portanto, a afirmação é válida para se ela for válida para .

Resposta

Assim, por indução, a desigualdade é verdadeira para todo .

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