Em cada um dos itens abaixo, determinar a integral integralC f cdot d r: f(x, y, z)=(x z, x y, y z) e C o caminho poligonal que une o ponto A(1,0,0) ao ponto B(0,2,2), passando por D(1,1,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha! O enunciado pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial f(x, y, z) = (xz, xy, yz) ao longo de um caminho poligonal que vai do ponto A(1,0,0) ao ponto B(0,2,2), passando pelo ponto D(1,1,0). Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente integrais de linha, e para isso vamos dividir o caminho em duas partes: de A a D e de D a B.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula o trabalho realizado por um campo vetorial ao mover-se ao longo de um caminho específico. A fórmula geral para a integral de linha é:
integralC f cdot dr
Onde f é o campo vetorial e dr é um elemento infinitesimal do caminho C.

Passo 3

Como o caminho é poligonal (composto por retas), vamos dividir a integral em duas partes: de A(1,0,0) a D(1,1,0) e de D(1,1,0) a B(0,2,2).

Passo 4

Vamos parametrizar cada segmento do caminho.
Segmento A a D:
  • Ponto A: (1,0,0)
  • Ponto D: (1,1,0)
  • Podemos parametrizar esse segmento com o parâmetro t variando de 0 a 1:
r1(t) = (1, t, 0)
Então, dr1 = (0, 1, 0) dt
Segmento D a B:
  • Ponto D: (1,1,0)
  • Ponto B: (0,2,2)
  • Vamos parametrizar esse segmento também com t de 0 a 1:
r2(t) = (1 - t, 1 + t, 0 + 2t) = (1 - t, 1 + t, 2t)
Então, dr2 = (-1, 1, 2) dt

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral em cada segmento.
Integral de A a D:
f(r1(t)) = (xz, xy, yz) = (1 cdot 0, 1 cdot t, t cdot 0) = (0, t, 0)
f cdot dr1 = (0, t, 0) cdot (0, 1, 0) = t
Então, a integral fica:
integral0^1 t , dt = [t^22]0^1 = 12
Integral de D a B:
f(r2(t)) = (xz, xy, yz) = ((1 - t)(2t), (1 - t)(1 + t), (1 + t)(2t)) = (2t - 2t^2, 1 + t - t^2 - t, 2t + 2t^2) = (2t - 2t^2, 1 - t^2, 2t + 2t^2)
f cdot dr2 = (2t - 2t^2)(-1) + (1 - t^2)(1) + (2t + 2t^2)(2) = -2t + 2t^2 + 1 - t^2 + 4t + 4t^2 = ( -2t + 4t ) + (2t^2 - t^2 + 4t^2 ) +1 = 2t + 5t^2 +1
Integral fica:
integral0^1 (2t + 5t^2 +1) , dt = [t^2 + 5t^33 + t]0^1 = 1 + 53 +1 = 113

Passo 6

Agora, somamos as integrais dos dois segmentos para obter o valor total da integral de linha:
12 + 113 = 36 + 226 = 256

Resposta

A integral integralC f cdot d r vale 256.

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