Em cada um dos itens abaixo, determinar a integral : e o caminho poligonal que une o ponto ao ponto , passando por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha! O enunciado pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de um caminho poligonal que vai do ponto A(1,0,0) ao ponto B(0,2,2), passando pelo ponto D(1,1,0). Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente integrais de linha, e para isso vamos dividir o caminho em duas partes: de A a D e de D a B.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula o trabalho realizado por um campo vetorial ao mover-se ao longo de um caminho específico. A fórmula geral para a integral de linha é:
Onde é o campo vetorial e é um elemento infinitesimal do caminho C.

Passo 3

Como o caminho é poligonal (composto por retas), vamos dividir a integral em duas partes: de A(1,0,0) a D(1,1,0) e de D(1,1,0) a B(0,2,2).

Passo 4

Vamos parametrizar cada segmento do caminho.
Segmento A a D:
  • Ponto A: (1,0,0)
  • Ponto D: (1,1,0)
  • Podemos parametrizar esse segmento com o parâmetro variando de 0 a 1:
Então,
Segmento D a B:
  • Ponto D: (1,1,0)
  • Ponto B: (0,2,2)
  • Vamos parametrizar esse segmento também com de 0 a 1:
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral em cada segmento.
Integral de A a D:
Então, a integral fica:
Integral de D a B:
Integral fica:

Passo 6

Agora, somamos as integrais dos dois segmentos para obter o valor total da integral de linha:

Resposta

A integral vale .

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Calcule as seguintes integrais curvilíneas abaixo, usando o Teorema de Green: , ao longo do triângulo de vértices , no sentido anti-horário.
Calcular a integral do campo vetorial , do ponto ao ponto ao longo do segmento de reta que une os pontos dados.
Resolva.
  • ([1], seção 16.4) ([2], seção 8.2) Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
    é a elipse .