Prove por indução as desigualdades
a)
a)
Passo 1
Vamos provar por indução que para todo número natural
, a desigualdade
é verdadeira. Vamos usar o método de indução matemática, que é uma ferramenta poderosa para demonstrar afirmações que valem para todos os números naturais.
Passo 2
Base da indução: Primeiro, vamos verificar se a desigualdade é verdadeira para
.
Substituindo
na desigualdade:
Isso é verdade, então a base da indução está confirmada.
Passo 3
Hipótese de indução: Agora, assumimos que a desigualdade é verdadeira para algum número natural
, ou seja:
Esta suposição é chamada de hipótese de indução.
Passo 4
Passo indutivo: Precisamos mostrar que, se a desigualdade é verdadeira para
, então também é verdadeira para
. Ou seja, devemos provar que:
Sabemos que
. Então, podemos reescrever a desigualdade como:
Passo 5
Usando a hipótese de indução
, multiplicamos ambos os lados por 2:
Como
para todos os números naturais, temos:
Portanto:
Isso mostra que a desigualdade também é verdadeira para
.
Resposta
Assim, por indução matemática, provamos que para todo número natural
, a desigualdade
é verdadeira.
Exercícios relacionados
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c)
c)
- ([1], seção 16.4) ([2], seção 8.2) Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
é a elipse .
Utilize o PIF para provar que as propriedades abaixo valem para todo natural
d)
d)
Prove por indução as desigualdades
b)
b)