Prove por indução as desigualdades
a)

Passo 1

Vamos provar por indução que para todo número natural , a desigualdade é verdadeira. Vamos usar o método de indução matemática, que é uma ferramenta poderosa para demonstrar afirmações que valem para todos os números naturais.

Passo 2

Base da indução: Primeiro, vamos verificar se a desigualdade é verdadeira para .
Substituindo na desigualdade:
Isso é verdade, então a base da indução está confirmada.

Passo 3

Hipótese de indução: Agora, assumimos que a desigualdade é verdadeira para algum número natural , ou seja:
Esta suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 4

Passo indutivo: Precisamos mostrar que, se a desigualdade é verdadeira para , então também é verdadeira para . Ou seja, devemos provar que:
Sabemos que . Então, podemos reescrever a desigualdade como:

Passo 5

Usando a hipótese de indução , multiplicamos ambos os lados por 2:
Como para todos os números naturais, temos:
Portanto:
Isso mostra que a desigualdade também é verdadeira para .

Resposta

Assim, por indução matemática, provamos que para todo número natural , a desigualdade é verdadeira.

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Prove por indução as desigualdades
c)
  • ([1], seção 16.4) ([2], seção 8.2) Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
    é a elipse .
Utilize o PIF para provar que as propriedades abaixo valem para todo natural
d)
Prove por indução as desigualdades
b)