- ([1], seção 16.4) ([2], seção 8.2) Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
é a fronteira da região englobada pelas parábolas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha sobre uma curva
, que é a fronteira da região limitada pelas parábolas
e
. Vamos usar o Teorema de Green para resolver isso. O Teorema de Green é uma ferramenta que transforma uma integral de linha em uma integral dupla, facilitando os cálculos quando a região está bem definida.
Passo 2
Primeiro, identifique as funções
e
na integral de linha dada:
Aqui, temos:
Passo 3
O Teorema de Green diz que:
Onde
é a região delimitada pela curva
. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 4
Calculando
:
E
:
Passo 5
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
Ou seja, a integral dupla é apenas a área da região
.
Passo 6
Agora, precisamos determinar a área da região
delimitada pelas parábolas
e
. Para isso, encontramos os pontos de interseção resolvendo:
Substituindo a primeira na segunda:
Então,
ou
. Correspondente,
ou
. Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 7
Para calcular a área, escolhemos integrar em relação a
. Observamos que, entre
e
, a curva superior é
(obtida de
) e a inferior é
.
Então, a área
é:
Passo 8
Calculando a integral:
Resposta
A integral de linha vale
.