• ([1], seção 16.4) ([2], seção 8.2) Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
    integralC(y+e^raizx) d x+(2 x+cos y^2) d y, C é a fronteira da região englobada pelas parábolas y=x^2 e x=y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha sobre uma curva , que é a fronteira da região limitada pelas parábolas e . Vamos usar o Teorema de Green para resolver isso. O Teorema de Green é uma ferramenta que transforma uma integral de linha em uma integral dupla, facilitando os cálculos quando a região está bem definida.

Passo 2

Primeiro, identifique as funções integralC(y + e^raizx) dx + (2x + cos y^2) dy e P(x, y) = y + e^raizx na integral de linha dada:
Q(x, y) = 2x + cos y^2
Aqui, temos:

Passo 3

O Teorema de Green diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Onde é a região delimitada pela curva . Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 4

Calculando partial Qpartial x = partialpartial x (2x + cos y^2) = 2 :
partial Ppartial y = partialpartial y (y + e^raizx) = 1
E :

Passo 5

Substituindo na expressão do Teorema de Green:
integral duplaD ( 2 - 1 ) dA = integral duplaD 1 , dA
Ou seja, a integral dupla é apenas a área da região .

Passo 6

Agora, precisamos determinar a área da região y = x^2 delimitada pelas parábolas x = y^2 e x = (x^2)^2 Rightarrow x = x^4 Rightarrow x^4 - x = 0 Rightarrow x(x^3 - 1) = 0 . Para isso, encontramos os pontos de interseção resolvendo:
Substituindo a primeira na segunda:
Então, ou . Correspondente, ou . Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 7

Para calcular a área, escolhemos integrar em relação a A = integral0^1 ( raizx - x^2 ) dx . Observamos que, entre e , a curva superior é (obtida de ) e a inferior é .
Então, a área é:

Passo 8

Calculando a integral:
A = integral0^1 x^1/2 - x^2 , dx = [ 23x^3/2 - 13x^3 ]0^1 = ( 23 - 13 ) - 0 = 13

Resposta

A integral de linha vale .

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