Considere o sólido obtido com a rotação da região limitada pelas curvas
e
em torno da reta
.
Escreva as integrais que dão o volume do sólido para o Método do Anel e para o Método das Cascas Cilíndricas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as integrais que dão o volume de um sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas
e
em torno da reta
. A matéria envolvida aqui é Cálculo Integral, mais especificamente os Métodos do Anel (ou Disco) e das Cascas Cilíndricas. Vamos precisar entender como aplicar esses métodos para calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região que está sendo rodada. As curvas
e
se intersectam nos pontos onde
, ou seja,
e
. Então, a região está delimitada entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar a rotação dessa região em torno da reta
. Essa reta está à esquerda do eixo
, então vamos precisar calcular as distâncias da região a essa reta para aplicar os métodos.
Passo 4
Vamos começar com o Método do Anel. Nesse método, o volume é calculado como uma integral que soma os anéis (ou discos) resultantes da rotação. A fórmula geral é:
onde
é o raio externo e
é o raio interno.
Passo 5
Para nosso caso, o raio externo
é a distância da curva superior
à reta
, que é
. O raio interno
é a distância da curva inferior
à reta
, que também é
, mas precisamos ajustar para a função correta.
Passo 6
Na verdade, para o Método do Anel, como estamos rotacionando em torno de uma reta vertical, devemos pensar nas funções em termos de
. Então, vamos reescrever as funções:
-
pode ser reescrita como -
já está em função de
Assim, os limites de
serão de 0 a 1.
Passo 7
Então, no Método do Anel, a integral para o volume fica:
Passo 8
Agora, vamos para o Método das Cascas Cilíndricas. Nesse método, o volume é calculado como uma integral que soma as cascas cilíndricas. A fórmula geral é:
onde
é o raio da casca e
é a altura da casca.
Passo 9
Aqui,
é a distância de cada ponto
à reta
, que é
. A altura
é a diferença entre as funções
e
.
Passo 10
Portanto, a integral para o Método das Cascas Cilíndricas fica:
Resposta
As integrais que dão o volume do sólido são:
- Método do Anel:
- Método das Cascas Cilíndricas: