Considere o sólido obtido com a rotação da região limitada pelas curvas y = x^2 e x = y^2 em torno da reta x = -1.
[1, 0] Escreva as integrais que dão o volume do sólido para o Método do Anel e para o Método das Cascas Cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as integrais que dão o volume de um sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas e em torno da reta . A matéria envolvida aqui é Cálculo Integral, mais especificamente os Métodos do Anel (ou Disco) e das Cascas Cilíndricas. Vamos precisar entender como aplicar esses métodos para calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região que está sendo rodada. As curvas e se intersectam nos pontos onde , ou seja, e . Então, a região está delimitada entre e .

Passo 3

Agora, vamos visualizar a rotação dessa região em torno da reta . Essa reta está à esquerda do eixo , então vamos precisar calcular as distâncias da região a essa reta para aplicar os métodos.

Passo 4

Vamos começar com o Método do Anel. Nesse método, o volume é calculado como uma integral que soma os anéis (ou discos) resultantes da rotação. A fórmula geral é:
onde é o raio externo e é o raio interno.

Passo 5

Para nosso caso, o raio externo é a distância da curva superior à reta , que é . O raio interno é a distância da curva inferior à reta , que também é , mas precisamos ajustar para a função correta.

Passo 6

Na verdade, para o Método do Anel, como estamos rotacionando em torno de uma reta vertical, devemos pensar nas funções em termos de . Então, vamos reescrever as funções:
  • pode ser reescrita como
  • já está em função de
Assim, os limites de serão de 0 a 1.

Passo 7

Então, no Método do Anel, a integral para o volume fica:

Passo 8

Agora, vamos para o Método das Cascas Cilíndricas. Nesse método, o volume é calculado como uma integral que soma as cascas cilíndricas. A fórmula geral é:
onde é o raio da casca e é a altura da casca.

Passo 9

Aqui, é a distância de cada ponto à reta , que é . A altura é a diferença entre as funções e .

Passo 10

Portanto, a integral para o Método das Cascas Cilíndricas fica:

Resposta

As integrais que dão o volume do sólido são:
  • Método do Anel:
  • Método das Cascas Cilíndricas:

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