Enuncie o Teorema do Valor Médio e dê um exemplo de sua aplicaçāo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente enunciar o Teorema do Valor Médio e dar um exemplo de como ele é aplicado. Então, estamos falando de cálculo, especificamente de teoria das funções contínuas e diferenciáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema do Valor Médio. Ele diz que se você tem uma função que é contínua em um intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto , então existe pelo menos um ponto em onde a derivada da função nesse ponto é igual à inclinação da linha que liga os pontos e . Em outras palavras:
Isso significa que há pelo menos um ponto onde a taxa de variação instantânea (derivada) é igual à taxa de variação média no intervalo.

Passo 3

Vamos ver um exemplo prático. Imagine que você está dirigindo e passa por uma cidade A às 10h com uma velocidade de 60 km/h, e chega à cidade B às 12h, percorrendo 120 km no total. O Teorema do Valor Médio garante que, em algum momento dessa viagem, você estava exatamente viajando a uma velocidade igual à média da viagem.
Vamos calcular a velocidade média:
éâ
De acordo com o Teorema do Valor Médio, deve ter existido um momento entre 10h e 12h em que sua velocidade instantânea foi exatamente 60 km/h.

Resposta

Então, resumindo, o Teorema do Valor Médio afirma que para uma função contínua e diferenciável em , existe pelo menos um ponto onde a derivada iguala a taxa média de variação. No exemplo da viagem, isso significa que houve um instante em que a velocidade foi exatamente a média da viagem, que no caso foi 60 km/h.

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