Considere o sólido obtido com a rotação da região limitada pelas curvas
e
em torno da reta
.
Indique no gráfico
e
, a região a ser rotacionada e o eixo de rotação.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem duas curvas:
e
. A ideia é rotacionar a região que está entre essas duas curvas em torno da reta
. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas curvas se comportam no gráfico e identificar a área que vamos girar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas:
-
: Essa é uma parábola que abre para cima. Ela passa pela origem (0,0) e fica simétrica em relação ao eixo . -
: Essa também é uma parábola, mas abre para a direita. Ela também passa pela origem e é simétrica em relação ao eixo .
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos onde essas duas curvas se interceptam. Para isso, igualamos as duas equações:
Substituindo
da primeira na segunda:
Reorganizando:
Então, as soluções são
e
. Substituindo de volta para encontrar
:
- Para
: - Para
:
Portanto, os pontos de interseção são (0,0) e (1,1).
Passo 4
Com os pontos de interseção encontrados, vimos que a região limitada pelas curvas vai de
até
. Entre esses valores,
está acima de
.
Passo 5
Agora, vamos identificar o eixo de rotação que é a reta
. No gráfico, isso fica uma distância de 1 unidade à esquerda da origem no eixo
.
Passo 6
Para visualizar, imagine o gráfico com as duas parábolas se cruzando nos pontos (0,0) e (1,1). A área entre elas de
a
é a região que vamos rotacionar. E essa rotação vai acontecer em torno da reta vertical
, que está à esquerda dessa região.
Resposta
A região a ser rotacionada está entre as curvas
e
, compreendida entre
e
. O eixo de rotação é a reta vertical
.