Considere o sólido obtido com a rotação da região limitada pelas curvas y = x^2 e x = y^2 em torno da reta x = -1.
[1, 0] Indique no gráfico y = x^2 e x = y^2, a região a ser rotacionada e o eixo de rotação.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem duas curvas: e . A ideia é rotacionar a região que está entre essas duas curvas em torno da reta . Para resolver isso, vamos precisar entender como essas curvas se comportam no gráfico e identificar a área que vamos girar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas:
  • : Essa é uma parábola que abre para cima. Ela passa pela origem (0,0) e fica simétrica em relação ao eixo .
  • : Essa também é uma parábola, mas abre para a direita. Ela também passa pela origem e é simétrica em relação ao eixo .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos onde essas duas curvas se interceptam. Para isso, igualamos as duas equações:
Substituindo da primeira na segunda:
Reorganizando:
Então, as soluções são e . Substituindo de volta para encontrar :
  • Para :
  • Para :
Portanto, os pontos de interseção são (0,0) e (1,1).

Passo 4

Com os pontos de interseção encontrados, vimos que a região limitada pelas curvas vai de até . Entre esses valores, está acima de .

Passo 5

Agora, vamos identificar o eixo de rotação que é a reta . No gráfico, isso fica uma distância de 1 unidade à esquerda da origem no eixo .

Passo 6

Para visualizar, imagine o gráfico com as duas parábolas se cruzando nos pontos (0,0) e (1,1). A área entre elas de a é a região que vamos rotacionar. E essa rotação vai acontecer em torno da reta vertical , que está à esquerda dessa região.

Resposta

A região a ser rotacionada está entre as curvas e , compreendida entre e . O eixo de rotação é a reta vertical .

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