(1 ponto) Encontre o valor médio da função f(x)=integralx^1 cos (t^2) d t no intervalo [0,1].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o valor médio da função no intervalo [0,1]. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente a ideia de valor médio de uma função.

Passo 2

Primeiro, lembra que o valor médio de uma função Média = 1b - a integrala^b f(x) , dx no intervalo [a, b] é dado por:
Média = integral0^1 f(x) , dx é
No nosso caso, e , então a fórmula fica:
é

Passo 3

Agora, substituímos Média = integral0^1 ( integralx^1 cos(t^2) , dt ) dx na integral:
é
Para resolver essa integral dupla, vamos trocar a ordem de integração. Isso facilita bastante o cálculo.

Passo 4

Depois de trocar a ordem, a integral fica:
Média = integral0^1 integral0^t cos(t^2) , dx , dt é
Aí, a integral interna em relação a integral0^t cos(t^2) , dx = t cos(t^2) é simples, já que Média = integral0^1 t cos(t^2) , dt não depende de :
Então, a integral se resume a:
é

Passo 5

Para resolver u = t^2 Rightarrow du = 2t , dt Rightarrow du2 = t , dt , fazemos uma substituição:
12 integral cos(u) , du = 12 sin(u) + C = 12 sin(t^2) + C
A integral fica:
Média = 12 sin(1) - 12 sin(0) = 12 sin(1)
Avaliada de 0 a 1:
é

Resposta

O valor médio da função no intervalo [0,1] é .

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