(1 ponto) Encontre o valor médio da função
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o valor médio da função
no intervalo [0,1]. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente a ideia de valor médio de uma função.
Passo 2
Primeiro, lembra que o valor médio de uma função
no intervalo [a, b] é dado por:
No nosso caso,
e
, então a fórmula fica:
Passo 3
Agora, substituímos
na integral:
Para resolver essa integral dupla, vamos trocar a ordem de integração. Isso facilita bastante o cálculo.
Passo 4
Depois de trocar a ordem, a integral fica:
Aí, a integral interna em relação a
é simples, já que
não depende de
:
Então, a integral se resume a:
Passo 5
Para resolver
, fazemos uma substituição:
A integral fica:
Avaliada de 0 a 1:
Resposta
O valor médio da função no intervalo [0,1] é
.