([1], seção 16.4) ([2], seção 8.2) Use o Teorema de Green para calcular . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema.)
é a circunferência , orientada no sentido horário.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha usando o Teorema de Green. A função que precisamos analisar é e a curva é a circunferência definida por . Além disso, é importante notar que a curva está orientada no sentido horário, e isso vai influenciar o resultado. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre o Teorema de Green e como aplicá-lo.

Passo 2

O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva simples com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. A forma que usamos é a seguinte:
onde . No nosso caso, temos:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais:
  1. Primeiro, calculamos .
  2. Depois, calculamos .
Fazendo essas contas, temos:
Agora, colocamos isso na fórmula do Teorema de Green:

Passo 3

A próxima parte é calcular a integral dupla sobre a região que está limitada pela circunferência . A região é um círculo de raio 5 (porque ).
Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas polares, onde e . Assim, temos que a integral se transforma em:
Aqui, se transforma em em coordenadas polares. O limite de vai de até (raio do círculo) e o limite de vai de até .
Colocando tudo isso em uma integral:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral dupla. Começamos integrando em relação a :
Em seguida, a integral em relação a é:
Então, juntando tudo, temos:

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

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Duas partículas carregadas com 10 nC estão separadas por 2 cm sobre o eixo x . Qual é a força resultante sobre uma partícula de posicionada no ponto médio da distância entre elas? Qual será a força resultante se a partícula da direita for substituida por outra, com -10 nC de carga?
Calcule, caso exista. .
Encontre os valores de e , de modo que a função seja derivável em .
Se é uma esfera e satisfaz as hipóteses do Teorema de Stokes, mostre que .