([1], seção 16.4) ([2], seção 8.2) Use o Teorema de Green para calcular integralC F cdot d r. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema.)
F(x, y)=(e^x+x^2 y, e^y-x y^2), C é a circunferência x^2+y^2=25, orientada no sentido horário.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha integralC F cdot d r usando o Teorema de Green. A função F(x, y) que precisamos analisar é (e^x+x^2 y, e^y-x y^2) e a curva C é a circunferência definida por x^2+y^2=25. Além disso, é importante notar que a curva está orientada no sentido horário, e isso vai influenciar o resultado. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre o Teorema de Green e como aplicá-lo.

Passo 2

O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva simples com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. A forma que usamos é a seguinte:
integralC F cdot dr = integral duplaR ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) , dA
onde F = (M, N). No nosso caso, temos:
  • M = e^x + x^2y
  • N = e^y - xy^2
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais:
  1. Primeiro, calculamos partial Npartial x.
  2. Depois, calculamos partial Mpartial y.
Fazendo essas contas, temos:
  1. partial Npartial x = -y^2
  2. partial Mpartial y = x^2
Agora, colocamos isso na fórmula do Teorema de Green:
partial Npartial x - partial Mpartial y = -y^2 - x^2 = -(x^2 + y^2)

Passo 3

A próxima parte é calcular a integral dupla sobre a região R que está limitada pela circunferência x^2 + y^2 = 25. A região R é um círculo de raio 5 (porque raiz25 = 5).
Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas polares, onde x = rcos(theta) e y = rsin(theta). Assim, temos que a integral se transforma em:
integral duplaR -(x^2 + y^2) , dA = integral duplaR -r^2 , r , dr , dtheta
Aqui, dA se transforma em r , dr , dtheta em coordenadas polares. O limite de r vai de 0 até 5 (raio do círculo) e o limite de theta vai de 0 até 2pi.
Colocando tudo isso em uma integral:
integral0^2pi integral0^5 -r^3 , dr , dtheta

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral dupla. Começamos integrando em relação a r:
integral0^5 -r^3 , dr = [-r^44]0^5 = -5^44 = -6254
Em seguida, a integral em relação a theta é:
integral0^2pi dtheta = 2pi
Então, juntando tudo, temos:
Resu

Resposta

Portanto, o valor da integral é -625pi2.

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