([1], seção 16.4) ([2], seção 8.2) Use o Teorema de Green para calcular
. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema.)
é a circunferência
, orientada no sentido horário.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha
usando o Teorema de Green. A função
que precisamos analisar é
e a curva
é a circunferência definida por
. Além disso, é importante notar que a curva está orientada no sentido horário, e isso vai influenciar o resultado. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre o Teorema de Green e como aplicá-lo.
Passo 2
O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva simples com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. A forma que usamos é a seguinte:
onde
. No nosso caso, temos:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais:
- Primeiro, calculamos
. - Depois, calculamos
.
Fazendo essas contas, temos:
Agora, colocamos isso na fórmula do Teorema de Green:
Passo 3
A próxima parte é calcular a integral dupla sobre a região
que está limitada pela circunferência
. A região
é um círculo de raio 5 (porque
).
Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas polares, onde
e
. Assim, temos que a integral se transforma em:
Aqui,
se transforma em
em coordenadas polares. O limite de
vai de
até
(raio do círculo) e o limite de
vai de
até
.
Colocando tudo isso em uma integral:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral dupla. Começamos integrando em relação a
:
Em seguida, a integral em relação a
é:
Então, juntando tudo, temos:
Resposta
Portanto, o valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Duas partículas carregadas com 10 nC estão separadas por 2 cm sobre o eixo x . Qual é a força resultante sobre uma partícula de
posicionada no ponto médio da distância entre elas? Qual será a força resultante se a partícula da direita for substituida por outra, com -10 nC de carga?
Calcule, caso exista.
.
Encontre os valores de
e
, de modo que a função
seja derivável em
.
Se
é uma esfera e
satisfaz as hipóteses do Teorema de Stokes, mostre que
.