Se S é uma esfera e F satisfaz as hipóteses do Teorema de Stokes, mostre que integral duplaS rot F cdot d S=0.

Passo 1

Vamos resumir a questão: o exercício pede para nós mostrarmos que, se S é uma esfera e F satisfaz as hipóteses do Teorema de Stokes, então a integral de superfície de rot F sobre a esfera S é igual a zero, ou seja, integral duplaS rot F cdot d S=0. O conteúdo aqui envolve um pouco de cálculo vetorial e, em particular, o Teorema de Stokes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o rotacional (ou rotação) de um campo vetorial e como aplicar o Teorema de Stokes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao longo da borda de uma superfície com uma integral de superfície dessa mesma superfície. Especificamente, ele diz que:
integral duplaS rot F cdot d S = ointpartial S F cdot dr
Aqui, partial S é a borda da superfície S. O que estamos tentando mostrar é que a integral de superfície sobre a esfera (neste caso) é zero.

Passo 3

Agora, é bom lembrar uma coisa: quando temos uma esfera, a borda da esfera, ou seja, partial S, é vazia! Isso acontece porque a esfera não tem bordas; ela é simplesmente um objeto tridimensional sem limites. Então, vamos olhar na fórmula do Teorema de Stokes. Como a borda partial S é vazia, a integral ao longo dela também é zero:
ointpartial S F cdot dr = 0

Passo 4

Agora, voltando para a igualdade dada pelo Teorema de Stokes, se a integral ao longo da borda da superfície é zero, isso significa que:
integral duplaS rot F cdot d S = 0
E é exatamente o que queríamos mostrar!

Resposta

Portanto, concluímos que integral duplaS rot F cdot d S=0 se S é uma esfera e F satisfaz as hipóteses do Teorema de Stokes.

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