Se
é uma esfera e
satisfaz as hipóteses do Teorema de Stokes, mostre que
.
Passo 1
Vamos resumir a questão: o exercício pede para nós mostrarmos que, se
é uma esfera e
satisfaz as hipóteses do Teorema de Stokes, então a integral de superfície de
sobre a esfera
é igual a zero, ou seja,
. O conteúdo aqui envolve um pouco de cálculo vetorial e, em particular, o Teorema de Stokes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o rotacional (ou rotação) de um campo vetorial e como aplicar o Teorema de Stokes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao longo da borda de uma superfície com uma integral de superfície dessa mesma superfície. Especificamente, ele diz que:
Aqui,
é a borda da superfície
. O que estamos tentando mostrar é que a integral de superfície sobre a esfera (neste caso) é zero.
Passo 3
Agora, é bom lembrar uma coisa: quando temos uma esfera, a borda da esfera, ou seja,
, é vazia! Isso acontece porque a esfera não tem bordas; ela é simplesmente um objeto tridimensional sem limites. Então, vamos olhar na fórmula do Teorema de Stokes. Como a borda
é vazia, a integral ao longo dela também é zero:
Passo 4
Agora, voltando para a igualdade dada pelo Teorema de Stokes, se a integral ao longo da borda da superfície é zero, isso significa que:
E é exatamente o que queríamos mostrar!
Resposta
Portanto, concluímos que
se
é uma esfera e
satisfaz as hipóteses do Teorema de Stokes.
Exercícios relacionados
Encontre os valores de
e
, de modo que a função
seja derivável em
.
([1], seção 16.4) ([2], seção 8.2) Use o Teorema de Green para calcular
. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema.)
é a circunferência
, orientada no sentido horário.
Determine se a série é absolutamente convergente (AC), condicionalmente convergente
ou divergente
.
Calcule as transformadas de Laplace inversas: