Calcule, caso exista. .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. O enunciado nos pede para calcular o limite da expressão quando se aproxima do ponto . Neste caso, estamos lidando com um limite em várias variáveis, e a matéria que precisamos conhecer aqui é sobre limites. Para resolver isso, vamos usar a noção de que queremos ver o que acontece com a expressão conforme se aproxima de .

Passo 2

Agora, precisamos simplificar a análise desse limite. Além de simplesmente substituir e por , é importante considerar diferentes caminhos pelo qual pode se aproximar do ponto . Uma forma comum de fazer isso é usar coordenadas polares, onde e . Aqui, é a distância do ponto até a origem, e representa a direção.
Assim, reescrevendo a expressão na forma polar:
Agora podemos reescrever a função limite:

Passo 3

O que descobrimos até agora é que conforme se aproxima da origem, a expressão se torna . Porém, o valor de depende de , ou seja, do caminho que estamos usando para chegar até . Isso significa que esse limite não é único; ele varia conforme a direção. Por exemplo:
  • Se definirmos (ou seja, estamos indo para (0,0) ao longo do eixo x positivo), teremos .
  • Se definirmos (indo para (0,0) ao longo do eixo y positivo), teremos .
Como temos diferentes limites dependendo da direção que adotamos, isso mostra que o limite não existe.

Resposta

Portanto, o limite não existe.

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