Calcule, caso exista. lim (x, y) (0,0) xraizx^2+y^2.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. O enunciado nos pede para calcular o limite da expressão xraizx^2+y^2 quando (x, y) se aproxima do ponto (0,0). Neste caso, estamos lidando com um limite em várias variáveis, e a matéria que precisamos conhecer aqui é sobre limites. Para resolver isso, vamos usar a noção de que queremos ver o que acontece com a expressão conforme (x,y) se aproxima de (0,0).

Passo 2

Agora, precisamos simplificar a análise desse limite. Além de simplesmente substituir x e y por 0, é importante considerar diferentes caminhos pelo qual (x,y) pode se aproximar do ponto (0,0). Uma forma comum de fazer isso é usar coordenadas polares, onde x = r cos(theta) e y = r sin(theta). Aqui, r é a distância do ponto (x,y) até a origem, e theta representa a direção.
Assim, reescrevendo a expressão na forma polar:
raizx^2+y^2 = raiz(r cos(theta))^2 + (r sin(theta))^2 = raizr^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta)) = r
Agora podemos reescrever a função limite:
xraizx^2+y^2 = r cos(theta)r = cos(theta) (para r neq 0)

Passo 3

O que descobrimos até agora é que conforme (x, y) se aproxima da origem, a expressão xraizx^2+y^2 se torna cos(theta). Porém, o valor de cos(theta) depende de theta, ou seja, do caminho que estamos usando para chegar até (0,0). Isso significa que esse limite não é único; ele varia conforme a direção. Por exemplo:
  • Se definirmos theta = 0 (ou seja, estamos indo para (0,0) ao longo do eixo x positivo), teremos cos(0) = 1.
  • Se definirmos theta = pi2 (indo para (0,0) ao longo do eixo y positivo), teremos cos(pi2) = 0.
Como temos diferentes limites dependendo da direção que adotamos, isso mostra que o limite não existe.

Resposta

Portanto, o limite lim (x, y) (0,0) xraizx^2+y^2 não existe.

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