Calcule, caso exista.
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. O enunciado nos pede para calcular o limite da expressão
quando
se aproxima do ponto
. Neste caso, estamos lidando com um limite em várias variáveis, e a matéria que precisamos conhecer aqui é sobre limites. Para resolver isso, vamos usar a noção de que queremos ver o que acontece com a expressão conforme
se aproxima de
.
Passo 2
Agora, precisamos simplificar a análise desse limite. Além de simplesmente substituir
e
por
, é importante considerar diferentes caminhos pelo qual
pode se aproximar do ponto
. Uma forma comum de fazer isso é usar coordenadas polares, onde
e
. Aqui,
é a distância do ponto
até a origem, e
representa a direção.
Assim, reescrevendo a expressão na forma polar:
Agora podemos reescrever a função limite:
Passo 3
O que descobrimos até agora é que conforme
se aproxima da origem, a expressão
se torna
. Porém, o valor de
depende de
, ou seja, do caminho que estamos usando para chegar até
. Isso significa que esse limite não é único; ele varia conforme a direção. Por exemplo:
- Se definirmos
(ou seja, estamos indo para (0,0) ao longo do eixo x positivo), teremos . - Se definirmos
(indo para (0,0) ao longo do eixo y positivo), teremos .
Como temos diferentes limites dependendo da direção que adotamos, isso mostra que o limite não existe.
Resposta
Portanto, o limite
não existe.
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([1], seção 16.4) ([2], seção 8.2) Use o Teorema de Green para calcular
. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema.)
é a circunferência
, orientada no sentido horário.