Encontre os valores de e , de modo que a função seja derivável em .

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer. Temos uma função definida por partes: . Precisamos encontrar os valores de e para que essa função seja derivável em . Isso significa que, além de ter que ser contínua em , as derivadas da parte esquerda e da parte direita da função também devem ser iguais nesse ponto. Vamos usar a continuidade e a derivabilidade para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função é contínua em . Para isso, precisamos que o valor da função quando se aproxima de 1 pela esquerda (usando a primeira parte da função) seja igual ao valor quando se aproxima pela direita (usando a segunda parte).
Calculando a função na parte esquerda quando :
Agora, para garantir a continuidade, precisamos que:
Assim, para a função ser contínua, temos que igualar as duas partes:

Passo 3

Agora que garantimos a continuidade, vamos garantir que a função seja derivável em . Para isso, precisamos que as derivadas pela esquerda e pela direita sejam iguais.
Primeiro, derivamos a parte da função que vale para :
Calculando a derivada em :
Agora, vamos derivar a parte da função que vale para :
Para que a função seja derivável, temos que:
Igualando as derivadas, temos:

Passo 4

Agora que temos da equação (2), vamos substituir o valor de na equação (1) para encontrar o valor de .
Substituindo na equação (1):
Isolando , temos:

Resposta

Portanto, os valores que encontramos são e .

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