Encontre os valores de
e
, de modo que a função
seja derivável em
.
Passo 1
Vamos resumir o que precisamos fazer. Temos uma função definida por partes:
. Precisamos encontrar os valores de
e
para que essa função seja derivável em
. Isso significa que, além de ter que ser contínua em
, as derivadas da parte esquerda e da parte direita da função também devem ser iguais nesse ponto. Vamos usar a continuidade e a derivabilidade para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função é contínua em
. Para isso, precisamos que o valor da função quando
se aproxima de 1 pela esquerda (usando a primeira parte da função) seja igual ao valor quando
se aproxima pela direita (usando a segunda parte).
Calculando a função na parte esquerda quando
:
Agora, para garantir a continuidade, precisamos que:
Assim, para a função ser contínua, temos que igualar as duas partes:
Passo 3
Agora que garantimos a continuidade, vamos garantir que a função seja derivável em
. Para isso, precisamos que as derivadas pela esquerda e pela direita sejam iguais.
Primeiro, derivamos a parte da função que vale para
:
Calculando a derivada em
:
Agora, vamos derivar a parte da função que vale para
:
Para que a função seja derivável, temos que:
Igualando as derivadas, temos:
Passo 4
Agora que temos
da equação (2), vamos substituir o valor de
na equação (1) para encontrar o valor de
.
Substituindo
na equação (1):
Isolando
, temos:
Resposta
Portanto, os valores que encontramos são
e
.