Encontre os valores de a e b, de modo que a função f(x)=ll3 x^2, & x <= 1 a x+b, x>1 seja derivável em x=1.

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer. Temos uma função definida por partes: f(x)=ll3 x^2, & x <= 1 a x+b, x>1. Precisamos encontrar os valores de a e b para que essa função seja derivável em x=1. Isso significa que, além de ter que ser contínua em x=1, as derivadas da parte esquerda e da parte direita da função também devem ser iguais nesse ponto. Vamos usar a continuidade e a derivabilidade para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função é contínua em x=1. Para isso, precisamos que o valor da função quando x se aproxima de 1 pela esquerda (usando a primeira parte da função) seja igual ao valor quando x se aproxima pela direita (usando a segunda parte).
Calculando a função na parte esquerda quando x=1:
f(1) = 3(1)^2 = 3
Agora, para garantir a continuidade, precisamos que:
limx to 1^+ f(x) = a(1) + b = a + b
Assim, para a função ser contínua, temos que igualar as duas partes:
a + b = 3 (1)

Passo 3

Agora que garantimos a continuidade, vamos garantir que a função seja derivável em x=1. Para isso, precisamos que as derivadas pela esquerda e pela direita sejam iguais.
Primeiro, derivamos a parte da função que vale para x <= 1:
f'(x) = ddx(3x^2) = 6x
Calculando a derivada em x=1:
f'(1) = 6(1) = 6
Agora, vamos derivar a parte da função que vale para x > 1:
f'(x) = ddx(ax + b) = a
Para que a função seja derivável, temos que:
f'(1) = a
Igualando as derivadas, temos:
a = 6 (2)

Passo 4

Agora que temos a da equação (2), vamos substituir o valor de a na equação (1) para encontrar o valor de b.
Substituindo a = 6 na equação (1):
6 + b = 3
Isolando b, temos:
b = 3 - 6 = -3

Resposta

Portanto, os valores que encontramos são a = 6 e b = -3.

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