([1], seção 16.4) Use o Teorema de Green para achar o trabalho realizado pela força ao mover uma partícula da origem ao longo do eixo até , em seguida ao longo de um segmento de reta até e então de volta à origem ao longo do eixo .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa usar o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado por uma força quando movemos uma partícula ao longo de um caminho fechado. O caminho é: da origem até pelo eixo , depois até em linha reta, e de volta à origem pelo eixo . Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green e configurar as integrais necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que está dentro de . Matematicamente, é dado por:
No nosso caso, a força tem componentes e . Vamos calcular e para usar no teorema.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Agora, a diferença entre essas derivadas é:
Passo 4
Agora precisamos configurar a integral dupla sobre a região . A região é o triângulo com vértices em , e . Para descrever essa região, podemos usar os limites de integração:
Passo 5
Vamos montar a integral dupla usando esses limites:
Primeiro, vamos integrar em relação a :
Passo 6
Agora, simplificamos a expressão resultante:
Passo 7
Agora, integramos essa expressão em relação a de 0 a 1:
Resposta
O trabalho realizado pela força ao longo do caminho descrito é .