Encontre os limites: lim (x, y) (1,1) x^2-y^2x-y

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é para encontrar o limite de uma função de duas variáveis quando se aproxima de . A função que a gente vai analisar é . Vamos precisar usar conhecimentos de álgebra para simplificar essa expressão e facilitar o cálculo do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador: x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) . Isso é uma diferença de quadrados, que a gente sabe que pode ser fatorada. A diferença de quadrados é do tipo x^2-y^2x-y = (x + y)(x - y)x - y . Aplicando isso aqui:
Então, a expressão original fica:

Passo 3

Agora, percebe que temos (x + y)(x - y)x - y = x + y no numerador e no denominador. Desde que (o que é válido próximo a ), a gente pode cancelar esses termos:
Então, a expressão simplificada para o limite é apenas .

Passo 4

Com a expressão simplificada, fica mais fácil calcular o limite. Agora, queremos saber o que acontece com x + y = 1 + 1 = 2 quando se aproxima de . Basta substituir:

Resposta

2

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