Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem do tipo linear. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz a equação
e que passa pelo ponto
. Para isso, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação diferencial. Nossa equação está na forma padrão:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
. Ele é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Como o fator integrante pode ser multiplicado por qualquer constante sem afetar a solução, podemos ignorar a constante
. Então, temos:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
. Ou seja:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Passo 6
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. A integral do lado direito é:
Então, temos:
Passo 7
Resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: