Encontre a solução do problema de valor inicial dado. y' + 3t^2 y = e^(-t^3 + t), y(0) = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem do tipo linear. Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz a equação e que passa pelo ponto . Para isso, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação diferencial. Nossa equação está na forma padrão:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante . Ele é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Como o fator integrante pode ser multiplicado por qualquer constante sem afetar a solução, podemos ignorar a constante . Então, temos:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto . Ou seja:
Agora, integramos ambos os lados em relação a :

Passo 6

A integral do lado esquerdo é simplesmente . A integral do lado direito é:
Então, temos:

Passo 7

Resolvemos para dividindo ambos os lados por :

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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