Encontre os limites:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o limite da função quando se aproxima de . A gente vai usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e simplificação algébrica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando se aproxima de .
  • Numerador: . Quando , .
  • Denominador: . Substituindo e , temos:
Então, ambos numerador e denominador tendem a zero, formando uma indeterminação do tipo . Precisamos simplificar a expressão para resolver isso.

Passo 3

Vamos fatorar o denominador para ver se conseguimos simplificar a fração. Observamos que:
Agora, a expressão original fica:
Essa simplificação é válida desde que , mas como estamos analisando o limite, podemos considerar esse caso.

Passo 4

Agora que simplificamos a expressão para , vamos calcular o limite quando :

Resposta

Exercícios relacionados

Encontre os limites:
([1], seção 16.4) Use o Teorema de Green para achar o trabalho realizado pela força
ao mover uma partícula da origem ao longo do eixo até , em seguida ao longo de um segmento de reta até e então de volta à origem ao longo do eixo .
Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que as funções nos exercícios abaixo não têm limite quando :
Se , deve ser definida em ? Justifique sua resposta.