Encontre os limites: lim (x, y) (2,-4) y+4x^2 y-x y+4 x^2-4 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o limite da função quando se aproxima de . A gente vai usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e simplificação algébrica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando (2)^2 cdot (-4) - (2) cdot (-4) + 4 cdot (2)^2 - 4 cdot 2 = 4 cdot (-4) + 8 + 16 - 8 = -16 + 8 + 16 - 8 = 0 se aproxima de .
  • Numerador: . Quando , .
  • Denominador: . Substituindo e , temos:
Então, ambos numerador e denominador tendem a zero, formando uma indeterminação do tipo . Precisamos simplificar a expressão para resolver isso.

Passo 3

Vamos fatorar o denominador para ver se conseguimos simplificar a fração. Observamos que:
x^2 y - x y + 4 x^2 - 4 x = x y (x - 1) + 4 x (x - 1) = (x y + 4 x)(x - 1) = x (y + 4)(x - 1)
Agora, a expressão original fica:
y + 4x^2 y - x y + 4 x^2 - 4 x = y + 4x (y + 4)(x - 1) = 1x (x - 1)
Essa simplificação é válida desde que , mas como estamos analisando o limite, podemos considerar esse caso.

Passo 4

Agora que simplificamos a expressão para limx 2 1x (x - 1) = 12 (2 - 1) = 12 cdot 1 = 12 , vamos calcular o limite quando :

Resposta

12

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