Encontre a solução do problema de valor inicial em forma explícita. Determine, pelo menos aproximadamente, o intervalo no qual a solução está definida. y' = (1 - 2x) / y, y(1) = -2

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial com a condição inicial . Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais e o método de separação de variáveis para encontrar a solução explícita e determinar o intervalo em que essa solução é válida.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis e para facilitar a integração. Multiplicando ambos os lados da equação por e , temos:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação separada. A integral de é , e a integral de é , onde é a constante de integração.

Passo 4

Vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e na equação:

Passo 5

Com o valor de encontrado, substituímos de volta na equação:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Resolvendo para :
Como a condição inicial é , escolhemos a raiz negativa:

Passo 6

Para determinar o intervalo onde a solução está definida, precisamos garantir que o que está dentro da raiz quadrada seja não negativo:
Resolvendo a inequação:
  1. Multiplicamos ambos os lados por -1 (lembrando que isso inverte o sinal da desigualdade):
  1. Dividimos por 2 para simplificar:
  1. Encontramos as raízes da equação quadrática :
  1. Analisando o sinal da inequação, vemos que é verdadeira para .

Resposta

A solução explícita do problema de valor inicial é:
E a solução está definida no intervalo:

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