Encontre a solução do problema de valor inicial em forma explícita. Determine, pelo menos aproximadamente, o intervalo no qual a solução está definida.
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial
com a condição inicial
. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais e o método de separação de variáveis para encontrar a solução explícita e determinar o intervalo em que essa solução é válida.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
para facilitar a integração. Multiplicando ambos os lados da equação por
e
, temos:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação separada. A integral de
é
, e a integral de
é
, onde
é a constante de integração.
Passo 4
Vamos aplicar a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
na equação:
Passo 5
Com o valor de
encontrado, substituímos de volta na equação:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Resolvendo para
:
Como a condição inicial é
, escolhemos a raiz negativa:
Passo 6
Para determinar o intervalo onde a solução está definida, precisamos garantir que o que está dentro da raiz quadrada seja não negativo:
Resolvendo a inequação:
- Multiplicamos ambos os lados por -1 (lembrando que isso inverte o sinal da desigualdade):
- Dividimos por 2 para simplificar:
- Encontramos as raízes da equação quadrática
:
- Analisando o sinal da inequação, vemos que
é verdadeira para .
Resposta
A solução explícita do problema de valor inicial é:
E a solução está definida no intervalo: