Assim, podemos dizer que
é uma combinação linear de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que temos aqui mostra uma matriz sendo expressa como uma combinação linear de outras quatro matrizes. Basicamente, queremos ver como a matriz
é formada usando múltiplos e somas das outras matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma combinação linear e como somar e multiplicar matrizes.
Passo 2
Primeiro, o que é uma combinação linear? Imagine que você tem várias matrizes e quer criar uma nova matriz ajustando o quanto de cada uma delas você usa. Você faz isso multiplicando cada matriz por um número (chamado de coeficiente) e depois somando todas essas matrizes resultantes. É como fazer uma receita onde cada ingrediente (matriz) tem uma quantidade específica.
Passo 3
Vamos dar uma olhada nas matrizes que temos e nos coeficientes usados:
-
Matriz 1:Coeficiente: 2
-
Matriz 2:Coeficiente: 5
-
Matriz 3:Coeficiente: 6
-
Matriz 4:Coeficiente: -1
Passo 4
Agora, vamos multiplicar cada matriz pelo seu coeficiente:
-
Matriz 1 multiplicada por 2:
$$
2 \times
$$ -
Matriz 2 multiplicada por 5:
$$
5 \times
$$ -
Matriz 3 multiplicada por 6:
$$
6 \times
$$ -
Matriz 4 multiplicada por -1:
$$
-1 \times
$$
Passo 5
Agora, vamos somar todas essas matrizes resultantes:
$$
+
+
+
$$
Vamos somar elemento por elemento:
- Primeira linha, primeiro elemento:
- Primeira linha, segundo elemento:
- Segunda linha, primeiro elemento:
- Segunda linha, segundo elemento:
Então, a soma fica:
Resposta
Conseguimos mostrar que, ao multiplicar e somar as matrizes dadas com os coeficientes indicados, obtemos exatamente a matriz
Portanto, essa matriz é realmente uma combinação linear das quatro matrizes fornecidas.
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,
, elementos de um espaço vetorial E. Um elemento e em E é chamado de uma combinação linear de
, se
para números reais
.
Encontrar uma função de várias variáveis que nos dê: a temperatura nos pontos de uma esfera, se ela, em qualquer ponto é numericamente igual à distância do ponto ao centro da esfera de coordenadas
;
Definição: Os elementos de
geram
se todo elemento em
for um combinação linear de
, eз, …,
, ou ainda, se
dizemos que
gera
, ou que
é gerado por
(
).
Definição: Os elementos
em um espaço vetorial
são ditos linearmente dependentes (LD) se existem constantes
, nem todas nulas, tais que:
caso contrário
, e e2, e
são chamados linearmente independentes (LI).
Ou seja, são LI se
Ou seja, são LI se