Definição: Os elementos de E e1, e2, e3, ..., ek geram E se todo elemento em E for um combinação linear de e1, e2, eз, …, e_k, ou ainda, se S = {e1, e2, e3, ..., ek} dizemos que S gera E, ou que E é gerado por S ( [S] = E ).

Passo 1

Vamos entender o enunciado! A definição fala sobre como certos elementos, chamados , podem “gerar” um conjunto . O conteúdo aqui pertence à Álgebra Linear, especificamente sobre combinações lineares e geração de espaços vetoriais. Para resolver, precisamos saber o que é uma combinação linear e como verificar se um conjunto gera .

Passo 2

Primeiro, vamos explicar o que é uma combinação linear. Imagine que você tem alguns vetores (nossos ) e quer criar outros vetores usando esses. Uma combinação linear é quando você multiplica cada vetor por um número (chamado de coeficiente) e depois soma todos esses resultados. Por exemplo:
onde são números reais.

Passo 3

Agora, quando dizemos que esses geram o conjunto , queremos dizer que qualquer elemento em pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Ou seja, não importa qual vetor você pegue de , sempre dá para expressá-lo usando dessa maneira.

Passo 4

A notação representa o conjunto dos nossos vetores geradores. Quando escrevemos , estamos dizendo que o conjunto gera . É uma forma resumida de afirmar que todos os elementos de são combinações lineares dos vetores em .

Resposta

Entendemos que os vetores geram o conjunto se qualquer elemento de pode ser formado através de combinações lineares desses vetores. Assim, dizer que gera significa que .

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