Definição: Os elementos de
geram
se todo elemento em
for um combinação linear de
, eз, …,
, ou ainda, se
dizemos que
gera
, ou que
é gerado por
(
).
Passo 1
Vamos entender o enunciado! A definição fala sobre como certos elementos, chamados
, podem “gerar” um conjunto
. O conteúdo aqui pertence à Álgebra Linear, especificamente sobre combinações lineares e geração de espaços vetoriais. Para resolver, precisamos saber o que é uma combinação linear e como verificar se um conjunto gera
.
Passo 2
Primeiro, vamos explicar o que é uma combinação linear. Imagine que você tem alguns vetores (nossos
) e quer criar outros vetores usando esses. Uma combinação linear é quando você multiplica cada vetor por um número (chamado de coeficiente) e depois soma todos esses resultados. Por exemplo:
onde
são números reais.
Passo 3
Agora, quando dizemos que esses
geram o conjunto
, queremos dizer que qualquer elemento em
pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Ou seja, não importa qual vetor você pegue de
, sempre dá para expressá-lo usando
dessa maneira.
Passo 4
A notação
representa o conjunto dos nossos vetores geradores. Quando escrevemos
, estamos dizendo que o conjunto
gera
. É uma forma resumida de afirmar que todos os elementos de
são combinações lineares dos vetores em
.
Resposta
Entendemos que os vetores
geram o conjunto
se qualquer elemento de
pode ser formado através de combinações lineares desses vetores. Assim, dizer que
gera
significa que
.
Exercícios relacionados
Assim, podemos dizer que
é uma combinação linear de
.
Definição: Sejam e
,
, elementos de um espaço vetorial E. Um elemento e em E é chamado de uma combinação linear de
, se
para números reais
.
Definição: Os elementos
em um espaço vetorial
são ditos linearmente dependentes (LD) se existem constantes
, nem todas nulas, tais que:
caso contrário
, e e2, e
são chamados linearmente independentes (LI).
Ou seja, são LI se
Ou seja, são LI se
Fazendo:
Esse sistema tem infinitas soluções, então os elementos são LD, pois existem números