Definição: Os elementos de geram se todo elemento em for um combinação linear de , eз, …, , ou ainda, se dizemos que gera , ou que é gerado por ( ).

Passo 1

Vamos entender o enunciado! A definição fala sobre como certos elementos, chamados , podem “gerar” um conjunto . O conteúdo aqui pertence à Álgebra Linear, especificamente sobre combinações lineares e geração de espaços vetoriais. Para resolver, precisamos saber o que é uma combinação linear e como verificar se um conjunto gera .

Passo 2

Primeiro, vamos explicar o que é uma combinação linear. Imagine que você tem alguns vetores (nossos ) e quer criar outros vetores usando esses. Uma combinação linear é quando você multiplica cada vetor por um número (chamado de coeficiente) e depois soma todos esses resultados. Por exemplo:
onde são números reais.

Passo 3

Agora, quando dizemos que esses geram o conjunto , queremos dizer que qualquer elemento em pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores. Ou seja, não importa qual vetor você pegue de , sempre dá para expressá-lo usando dessa maneira.

Passo 4

A notação representa o conjunto dos nossos vetores geradores. Quando escrevemos , estamos dizendo que o conjunto gera . É uma forma resumida de afirmar que todos os elementos de são combinações lineares dos vetores em .

Resposta

Entendemos que os vetores geram o conjunto se qualquer elemento de pode ser formado através de combinações lineares desses vetores. Assim, dizer que gera significa que .

Exercícios relacionados

Assim, podemos dizer que é uma combinação linear de .
Definição: Sejam e , , elementos de um espaço vetorial E. Um elemento e em E é chamado de uma combinação linear de , se
para números reais .
Definição: Os elementos em um espaço vetorial são ditos linearmente dependentes (LD) se existem constantes , nem todas nulas, tais que:
caso contrário , e e2, e são chamados linearmente independentes (LI).
Ou seja, são LI se
Fazendo:

Esse sistema tem infinitas soluções, então os elementos são LD, pois existem números , não simultaneamente iguais a zero, que combinam os elementos de forma que eles se anulam.