Definição: Os elementos em um espaço vetorial são ditos linearmente dependentes (LD) se existem constantes , nem todas nulas, tais que:
caso contrário , e e2, e são chamados linearmente independentes (LI).
Ou seja, são LI se

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá falando. A gente está tratando de dependência linear e independência linear no contexto de espaços vetoriais. Pra entender isso, a gente precisa saber como combinar vetores usando constantes (os chamados coeficientes) e ver se dá pra chegar a um resultado específico, que nesse caso é o vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre dependência linear (LD). Quando temos vários vetores num espaço vetorial , eles são ditos linearmente dependentes se a gente consegue encontrar alguns números que não são todos zero, de forma que a combinação linear desses vetores dê o vetor zero. Isso é representado pela equação:
Se a gente encontrar tais diferentes de zero, os vetores estão dependentes.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre independência linear (LI). Se, na equação acima, a única maneira de a combinação linear ser igual a zero é se todos os coeficientes forem zero, então os vetores são chamados de linearmente independentes. Ou seja:
Isso significa que nenhum vetor da coleção pode ser escrito como uma combinação dos outros.

Passo 4

Para entender melhor, vamos pensar em um exemplo simples. Imagine que temos dois vetores no plano:
Vamos ver se eles são dependentes ou independentes.

Passo 5

Aplicando a definição de dependência linear, queremos encontrar e tais que:
Substituindo os vetores:
Isso dá as equações:

Passo 6

Resolvendo essas equações, vemos que a segunda equação é apenas o dobro da primeira. Então, basicamente, temos uma única equação com duas incógnitas:
Podemos escolher, por exemplo, , então . Como encontramos coeficientes que não são todos zero que satisfazem a equação, isso significa que e são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores e são linearmente dependentes.

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Definição: Os elementos de geram se todo elemento em for um combinação linear de , eз, …, , ou ainda, se dizemos que gera , ou que é gerado por ( ).
Assim, podemos dizer que é uma combinação linear de .
Fazendo:

Esse sistema tem infinitas soluções, então os elementos são LD, pois existem números , não simultaneamente iguais a zero, que combinam os elementos de forma que eles se anulam.
Fazendo:

Assim, o conjunto é (para que os elementos se anulem, todos os números e têm que ser iguais a zero!