Definição: Os elementos e1, e2, e3, ldots, ek em um espaço vetorial E são ditos linearmente dependentes (LD) se existem constantes C1, C2, C3, ldots, Ck, nem todas nulas, tais que:
c1 e1+c2 e2+c3 e3+ldots+ck ek=0
caso contrário e1, e e2, e e3, ldots, e k são chamados linearmente independentes (LI).
Ou seja, são LI se
c1 e1+c2 e2+c3 e3+ldots+ck ek=0 c1=c2=c3=ck=0

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá falando. A gente está tratando de dependência linear e independência linear no contexto de espaços vetoriais. Pra entender isso, a gente precisa saber como combinar vetores usando constantes (os chamados coeficientes) e ver se dá pra chegar a um resultado específico, que nesse caso é o vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre dependência linear (LD). Quando temos vários vetores c1 cdot e1 + c2 cdot e2 + c3 cdot e3 + ldots + ck cdot ek = 0 num espaço vetorial , eles são ditos linearmente dependentes se a gente consegue encontrar alguns números que não são todos zero, de forma que a combinação linear desses vetores dê o vetor zero. Isso é representado pela equação:
Se a gente encontrar tais diferentes de zero, os vetores estão dependentes.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre independência linear (LI). Se, na equação acima, a única maneira de a combinação linear ser igual a zero é se todos os coeficientes c1 cdot e1 + c2 cdot e2 + c3 cdot e3 + ldots + ck cdot ek = 0 c1 = c2 = c3 = ldots = ck = 0 forem zero, então os vetores são chamados de linearmente independentes. Ou seja:
Isso significa que nenhum vetor da coleção pode ser escrito como uma combinação dos outros.

Passo 4

Para entender melhor, vamos pensar em um exemplo simples. Imagine que temos dois vetores no plano:
e1 = 1 2, e2 = 3 6
Vamos ver se eles são dependentes ou independentes.

Passo 5

Aplicando a definição de dependência linear, queremos encontrar c1 cdot e1 + c2 cdot e2 = 0 e c1 1 2 + c2 3 6 = 0 0 tais que:
c1 + 3c2 = 0 2c1 + 6c2 = 0
Substituindo os vetores:
Isso dá as equações:

Passo 6

Resolvendo essas equações, vemos que a segunda equação é apenas o dobro da primeira. Então, basicamente, temos uma única equação com duas incógnitas:
c1 + 3c2 = 0
Podemos escolher, por exemplo, , então . Como encontramos coeficientes que não são todos zero que satisfazem a equação, isso significa que e são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores e são linearmente dependentes.

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