Definição: Os elementos
em um espaço vetorial
são ditos linearmente dependentes (LD) se existem constantes
, nem todas nulas, tais que:
caso contrário
, e e2, e
são chamados linearmente independentes (LI).
Ou seja, são LI se
Ou seja, são LI se
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá falando. A gente está tratando de dependência linear e independência linear no contexto de espaços vetoriais. Pra entender isso, a gente precisa saber como combinar vetores usando constantes (os chamados coeficientes) e ver se dá pra chegar a um resultado específico, que nesse caso é o vetor zero.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre dependência linear (LD). Quando temos vários vetores
num espaço vetorial
, eles são ditos linearmente dependentes se a gente consegue encontrar alguns números
que não são todos zero, de forma que a combinação linear desses vetores dê o vetor zero. Isso é representado pela equação:
Se a gente encontrar tais
diferentes de zero, os vetores estão dependentes.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre independência linear (LI). Se, na equação acima, a única maneira de a combinação linear ser igual a zero é se todos os coeficientes
forem zero, então os vetores são chamados de linearmente independentes. Ou seja:
Isso significa que nenhum vetor da coleção pode ser escrito como uma combinação dos outros.
Passo 4
Para entender melhor, vamos pensar em um exemplo simples. Imagine que temos dois vetores no plano:
Vamos ver se eles são dependentes ou independentes.
Passo 5
Aplicando a definição de dependência linear, queremos encontrar
e
tais que:
Substituindo os vetores:
Isso dá as equações:
Passo 6
Resolvendo essas equações, vemos que a segunda equação é apenas o dobro da primeira. Então, basicamente, temos uma única equação com duas incógnitas:
Podemos escolher, por exemplo,
, então
. Como encontramos coeficientes que não são todos zero que satisfazem a equação, isso significa que
e
são linearmente dependentes.
Resposta
Os vetores
e
são linearmente dependentes.
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Definição: Os elementos de
geram
se todo elemento em
for um combinação linear de
, eз, …,
, ou ainda, se
dizemos que
gera
, ou que
é gerado por
(
).
Assim, podemos dizer que
é uma combinação linear de
.
Fazendo:
Esse sistema tem infinitas soluções, então os elementos são LD, pois existem números
Fazendo:
Assim, o conjunto é