Definição: Sejam e e1, e2, e3, ldots, ek, elementos de um espaço vetorial E. Um elemento e em E é chamado de uma combinação linear de e1, e2, e3, ldots, ek, se
e=c1 e1+c2 e2+c3 e3+ldots+ck ek
para números reais C1, c2, C3, ldots, Ck.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado que você compartilhou fala sobre combinação linear no contexto de espaços vetoriais. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para entender e resolver questões sobre combinação linear, vamos precisar conhecer o que são espaços vetoriais, vetores, e como combinar esses vetores usando coeficientes reais.

Passo 2

Primeiro, vamos esclarecer o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de elementos chamados vetores, onde você pode fazer duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar (número real). Por exemplo, no espaço vetorial , cada vetor tem três componentes.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre combinação linear. Imagine que você tem vários vetores no espaço vetorial, como . Uma combinação linear desses vetores é basicamente uma forma de combinar esses vetores usando coeficientes (números reais) para formar um novo vetor.

Passo 4

A combinação linear é expressa pela fórmula:
e = c1 cdot e1 + c2 cdot e2 + c3 cdot e3 + ldots + ck cdot ek
Aqui, são os coeficientes que multiplicam cada vetor .

Passo 5

Vamos detalhar o que cada parte da fórmula significa:
  • : São os coeficientes escalares. Eles determinam o quanto cada vetor contribui para a combinação.
  • : São os vetores que estamos combinando.
  • A soma: A combinação linear é a soma desses vetores escalados pelos coeficientes.

Passo 6

Por exemplo, se temos dois vetores e = 3 cdot e1 + 2 cdot e2 e no plano ( ), uma combinação linear deles poderia ser:
Isso significa que estamos pegando 3 vezes o vetor e adicionando 2 vezes o vetor para obter um novo vetor .

Passo 7

Entender combinações lineares é fundamental para muitos conceitos na Álgebra Linear, como espaços gerados, independência linear, e bases. Elas nos permitem construir novos vetores a partir de um conjunto existente de vetores.

Resposta

Então, resumindo, uma combinação linear de vetores em um espaço vetorial é uma soma dos vetores originais multiplicados por coeficientes reais. Essa ferramenta é essencial para explorar e entender a estrutura dos espaços vetoriais.

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