Definição: Sejam e
,
, elementos de um espaço vetorial E. Um elemento e em E é chamado de uma combinação linear de
, se
para números reais
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado que você compartilhou fala sobre combinação linear no contexto de espaços vetoriais. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para entender e resolver questões sobre combinação linear, vamos precisar conhecer o que são espaços vetoriais, vetores, e como combinar esses vetores usando coeficientes reais.
Passo 2
Primeiro, vamos esclarecer o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de elementos chamados vetores, onde você pode fazer duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar (número real). Por exemplo, no espaço vetorial
, cada vetor tem três componentes.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre combinação linear. Imagine que você tem vários vetores no espaço vetorial, como
. Uma combinação linear desses vetores é basicamente uma forma de combinar esses vetores usando coeficientes (números reais) para formar um novo vetor.
Passo 4
A combinação linear é expressa pela fórmula:
Aqui,
são os coeficientes que multiplicam cada vetor
.
Passo 5
Vamos detalhar o que cada parte da fórmula significa:
-
: São os coeficientes escalares. Eles determinam o quanto cada vetor contribui para a combinação. -
: São os vetores que estamos combinando. - A soma: A combinação linear é a soma desses vetores escalados pelos coeficientes.
Passo 6
Por exemplo, se temos dois vetores
e
no plano (
), uma combinação linear deles poderia ser:
Isso significa que estamos pegando 3 vezes o vetor
e adicionando 2 vezes o vetor
para obter um novo vetor
.
Passo 7
Entender combinações lineares é fundamental para muitos conceitos na Álgebra Linear, como espaços gerados, independência linear, e bases. Elas nos permitem construir novos vetores a partir de um conjunto existente de vetores.
Resposta
Então, resumindo, uma combinação linear de vetores em um espaço vetorial é uma soma dos vetores originais multiplicados por coeficientes reais. Essa ferramenta é essencial para explorar e entender a estrutura dos espaços vetoriais.
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Encontrar uma função de várias variáveis que nos dê: a temperatura nos pontos de uma esfera, se ela, em qualquer ponto é numericamente igual à distância do ponto ao centro da esfera de coordenadas
;
Determine o domínio da função
e faça um esboço mostrando como uma região em
(para as funções de duas variáveis independentes), que seja o conjunto de pontos do domínio de
. Use curvas pontilhadas para indicar qualquer parte do limite que não esteja no domínio e curvas em linhas contínuas para indicar partes do limite do domínio.
Assim, podemos dizer que
é uma combinação linear de
.
Definição: Os elementos de
geram
se todo elemento em
for um combinação linear de
, eз, …,
, ou ainda, se
dizemos que
gera
, ou que
é gerado por
(
).