x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 1 1.5 2 3 4 5 8 10 13
(a) Utilize um modelo linear e um modelo quadrático para ajustar y como função de x. Qual o modelo é melhor? Porque?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma tabela com valores de e e precisamos ajustar esses dados usando dois modelos diferentes: um modelo linear e um modelo quadrático. Depois, vamos descobrir qual dos dois modelos se encaixa melhor nos dados. Para isso, vamos precisar usar conceitos de ajuste de curvas e método dos mínimos quadrados.

Passo 2

Primeiro, vamos ajustar um modelo linear aos dados. Um modelo linear tem a forma:
Aqui, é o coeficiente angular e é o coeficiente linear. Para encontrar esses valores que melhor ajustam os nossos dados, usamos o método dos mínimos quadrados, que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos (a diferença entre os valores observados e os valores previstos pelo modelo).

Passo 3

Vamos calcular as somas necessárias para encontrar e :
Agora, aplicamos as fórmulas do método dos mínimos quadrados para um modelo linear:
Onde é o número de pontos de dados, que aqui é 9.

Passo 4

Substituindo os valores:
Então, nosso modelo linear é:

Passo 5

Agora, vamos ajustar um modelo quadrático aos dados. Um modelo quadrático tem a forma:
Para encontrar os coeficientes , e , também usamos o método dos mínimos quadrados, mas dessa vez precisamos resolver um sistema de equações lineares.

Passo 6

Calculamos as somas necessárias:
Formamos o sistema de equações:
Substituindo os valores:

Passo 7

Resolvendo esse sistema, encontramos os coeficientes:
Portanto, nosso modelo quadrático é:

Passo 8

Para saber qual modelo se ajusta melhor aos dados, vamos calcular o coeficiente de determinação para ambos os modelos. O nos indica a proporção da variabilidade nos dados que é explicada pelo modelo.
Calculando o para o modelo linear e para o modelo quadrático, percebemos que o modelo quadrático tem um maior, indicando um ajuste melhor aos dados.

Resposta

O modelo quadrático se ajusta melhor aos dados do que o modelo linear, pois apresenta um coeficiente de determinação maior, indicando um melhor ajuste aos pontos fornecidos.

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