Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções que crescem conforme
vai para o infinito. Vamos precisar simplificar a expressão dentro do limite para conseguir calcular esse valor.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro da raiz:
. Quando
é muito grande, os termos
e
se tornam bem pequenos comparados com
. Mas para resolver o limite, precisamos manipular essa expressão de forma mais precisa.
Passo 3
Vamos fatorar
dentro da raiz:
Como
está indo para
,
é positivo, então
. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos substituir isso de volta na expressão original do limite:
Para simplificar, precisamos entender como a expressão
se comporta quando
é muito grande.
Passo 5
Quando
tende para o infinito,
e
vão para zero. Podemos usar uma aproximação para a raiz quadrada:
Aqui,
, que realmente fica pequeno conforme
aumenta. Então:
Passo 6
Substituindo essa aproximação na expressão do limite:
Simplificando:
Passo 7
Agora, analisando cada termo quando
tende para
:
-
permanece . -
tende para 0, porque o denominador cresce sem limites.
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Problema 1: Sabe-se que uma alimentação diária equilibrada em vitaminas deve constar de 170 unidades(u) de vitamina
de vitamina B, 140 u de vitamina C, 180 u de vitamina D e 350 u de vitamina E. Com o objetivo de descobrir como deveria ser uma refeição equilibrada, foram estudados 5 alimentos. Fixada a mesma quantidade ( 1 g ) de cada alimento, determinou-se que:
(i) O alimento I tem 1 u de vitamina A, 10 u de vitamina de vitamina
de vitamina D e 2 u de vitamina E.
(ii) O alimento II tem 9 u de vitamina u de B, 1 u de C, 1 u de D e 1 u de E.
(iii) O alimento III tem 2 u de vitamina de
de C, 1 u de D e 2 u de .
(iv) O alimento IV tem 1 u de de B, 1 u de C, 2 u de D e 13 u de E.
(v) O alimento V tem 1 u de A, 1 u de B, 1 u de C, 9 u de D e 2 u de E.
Quantos gramas de cada um dos alimentos I, II, III, IV e V devemos ingerir diariamente para que nossa alimentação seja equilibrada?
(i) O alimento I tem 1 u de vitamina A, 10 u de vitamina
(ii) O alimento II tem 9 u de vitamina
(iii) O alimento III tem 2 u de vitamina
(iv) O alimento IV tem 1 u de
(v) O alimento V tem 1 u de A, 1 u de B, 1 u de C, 9 u de D e 2 u de E.
Quantos gramas de cada um dos alimentos I, II, III, IV e V devemos ingerir diariamente para que nossa alimentação seja equilibrada?
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
y | 1 | 1.5 | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 | 10 | 13 |
(a) Utilize um modelo linear e um modelo quadrático para ajustar
como função de
. Qual o modelo é melhor? Porque?