lim x +infty(raizx^2+3 x+4-x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções que crescem conforme vai para o infinito. Vamos precisar simplificar a expressão dentro do limite para conseguir calcular esse valor.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro da raiz: . Quando é muito grande, os termos e se tornam bem pequenos comparados com . Mas para resolver o limite, precisamos manipular essa expressão de forma mais precisa.

Passo 3

Vamos fatorar raizx^2 + 3x + 4 = raizx^2(1 + 3x + 4x^2) = |x|raiz1 + 3x + 4x^2 dentro da raiz:
raizx^2 + 3x + 4 = xraiz1 + 3x + 4x^2
Como está indo para , é positivo, então . Portanto:

Passo 4

Agora, vamos substituir isso de volta na expressão original do limite:
raizx^2 + 3x + 4 - x = xraiz1 + 3x + 4x^2 - x = x(raiz1 + 3x + 4x^2 - 1)
Para simplificar, precisamos entender como a expressão se comporta quando é muito grande.

Passo 5

Quando raiz1 + a approx 1 + a2 para a pequeno tende para o infinito, raiz1 + 3x + 4x^2 approx 1 + 12(3x + 4x^2) e vão para zero. Podemos usar uma aproximação para a raiz quadrada:
Aqui, , que realmente fica pequeno conforme aumenta. Então:

Passo 6

Substituindo essa aproximação na expressão do limite:
x(raiz1 + 3x + 4x^2 - 1) approx x(1 + 32x + 2x^2 - 1) = x(32x + 2x^2)
Simplificando:
x cdot 32x + x cdot 2x^2 = 32 + 2x

Passo 7

Agora, analisando cada termo quando tende para :
  • permanece .
  • tende para 0, porque o denominador cresce sem limites.

Resposta

O limite é .

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