Encontre a derivada direcional da função dada, no ponto dado e na direção do vetor dado.
-
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada direcional de uma função no ponto dado e na direção de um vetor específico. A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, mais especificamente derivadas direcionais. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a derivada direcional utilizando o gradiente da função e o vetor de direção.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada direcional. A derivada direcional de uma função
em um ponto
na direção de um vetor
é dada por:
Onde
é o gradiente da função no ponto
e
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 3
Vamos começar calculando o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação às variáveis
,
e
:
Calculando cada derivada parcial:
Então, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 5
Em seguida, precisamos encontrar o vetor unitário na direção de
. Primeiro, calculamos o módulo de
:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
é:
Exercícios relacionados
Esboce a região cuja área é dada pela integral
e calcule-a. (2,5 pontos)
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
y | 1 | 1.5 | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 | 10 | 13 |
(a) Utilize um modelo linear e um modelo quadrático para ajustar
como função de
. Qual o modelo é melhor? Porque?
Encontre a derivada direcional da função dada, no ponto dado e na direção do vetor dado.
-
.
Calcule a integral
. (2,5 pontos)