Encontre a derivada direcional da função dada, no ponto dado e na direção do vetor dado.
  • .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada direcional de uma função no ponto dado e na direção de um vetor específico. A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, mais especificamente derivadas direcionais. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a derivada direcional utilizando o gradiente da função e o vetor de direção.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada direcional. A derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor é dada por:
Onde é o gradiente da função no ponto e é o vetor unitário na direção de .

Passo 3

Vamos começar calculando o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação às variáveis , e :
Calculando cada derivada parcial:
Então, o gradiente é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 5

Em seguida, precisamos encontrar o vetor unitário na direção de . Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor unitário é:

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Calculando o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção do vetor é:

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Encontre a derivada direcional da função dada, no ponto dado e na direção do vetor dado.
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