Problema 1: Sabe-se que uma alimentação diária equilibrada em vitaminas deve constar de 170 unidades(u) de vitamina A, 180 u de vitamina B, 140 u de vitamina C, 180 u de vitamina D e 350 u de vitamina E. Com o objetivo de descobrir como deveria ser uma refeição equilibrada, foram estudados 5 alimentos. Fixada a mesma quantidade ( 1 g ) de cada alimento, determinou-se que:
(i) O alimento I tem 1 u de vitamina A, 10 u de vitamina B, 1 u de vitamina C, 2u de vitamina D e 2 u de vitamina E.
(ii) O alimento II tem 9 u de vitamina A, 1 u de B, 1 u de C, 1 u de D e 1 u de E.
(iii) O alimento III tem 2 u de vitamina A, 2u de B, 5u de C, 1 u de D e 2 u de .
(iv) O alimento IV tem 1 u de A, 1 u de B, 1 u de C, 2 u de D e 13 u de E.
(v) O alimento V tem 1 u de A, 1 u de B, 1 u de C, 9 u de D e 2 u de E.
Quantos gramas de cada um dos alimentos I, II, III, IV e V devemos ingerir diariamente para que nossa alimentação seja equilibrada?

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um problema de alimentação equilibrada em vitaminas. A gente precisa descobrir quantos gramas de cada um dos cinco alimentos (I, II, III, IV e V) devemos consumir diariamente para atender as necessidades diárias de vitaminas A, B, C, D e E. Vamos precisar montar um sistema de equações que representa as quantidades de cada vitamina fornecida por cada alimento e igualar às necessidades diárias.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as necessidades diárias de cada vitamina:
  • Vitamina A: 170 unidades (u)
  • Vitamina B: 180 u
  • Vitamina C: 140 u
  • Vitamina D: 180 u
  • Vitamina E: 350 u
Essas serão as nossas equações que queremos satisfazer.

Passo 3

Agora, vamos olhar para as quantidades de vitaminas em cada alimento por grama:
  • Alimento I:
    • A: 1 u
    • B: 10 u
    • C: 1 u
    • D: 2 u
    • E: 2 u
  • Alimento II:
    • A: 9 u
    • B: 1 u
    • C: 1 u
    • D: 1 u
    • E: 1 u
  • Alimento III:
    • A: 2 u
    • B: 2 u
    • C: 5 u
    • D: 1 u
    • E: 2 u
  • Alimento IV:
    • A: 1 u
    • B: 1 u
    • C: 1 u
    • D: 2 u
    • E: 13 u
  • Alimento V:
    • A: 1 u
    • B: 1 u
    • C: 1 u
    • D: 9 u
    • E: 2 u

Passo 4

Vamos chamar a quantidade de cada alimento que precisamos comer de para os alimentos I, II, III, IV e V, respectivamente.

Passo 5

Agora, montamos as equações baseadas nas vitaminas:
Vitamina A:
Vitamina B:
Vitamina C:
Vitamina D:
Vitamina E:

Passo 6

Agora, temos um sistema de cinco equações com cinco incógnitas. Podemos resolver esse sistema usando métodos como substituição, eliminação ou matrizes. Vou optar por usar o método de matrizes para facilitar.

Passo 7

Organizando o sistema na forma matricial :

Passo 8

Para resolver, podemos calcular , onde é a inversa da matriz . Isso nos dará os valores de .

Passo 9

Após realizar os cálculos (que geralmente são feitos com uma calculadora ou software de álgebra), encontramos:

Resposta

Devemos consumir diariamente:
  • 10 g do alimento I
  • 10 g do alimento II
  • 20 g do alimento III
  • 10 g do alimento IV
  • 10 g do alimento V

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