Esboce a região cuja área é dada pela integral
e calcule-a. (2,5 pontos)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos uma integral dupla
que representa a área de uma região no plano. O conteúdo aqui envolve coordenadas polares e o cálculo de áreas usando integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como as variáveis
e
definem essa região.
Passo 2
Vamos esboçar a região descrita pela integral. Em coordenadas polares:
-
varia de 1 a 2, o que significa que estamos entre dois círculos concêntricos com raios 1 e 2. -
varia de a , ou seja, de 180° a 270°, que corresponde ao quarto quadrante no plano polar.
Portanto, a região é uma fatia de anel (entre os dois círculos) que vai do ângulo
até
.
Passo 3
Vamos calcular a integral interna
. Essa integral representa a área radial entre
e
para um ângulo fixo
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral externa
. Essa integral soma as áreas radiais para todo o intervalo de
definido.
Resposta
A área da região é
.
Exercícios relacionados
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
y | 1 | 1.5 | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 | 10 | 13 |
(a) Utilize um modelo linear e um modelo quadrático para ajustar
como função de
. Qual o modelo é melhor? Porque?
Problema 1: Sabe-se que uma alimentação diária equilibrada em vitaminas deve constar de 170 unidades(u) de vitamina
de vitamina B, 140 u de vitamina C, 180 u de vitamina D e 350 u de vitamina E. Com o objetivo de descobrir como deveria ser uma refeição equilibrada, foram estudados 5 alimentos. Fixada a mesma quantidade ( 1 g ) de cada alimento, determinou-se que:
(i) O alimento I tem 1 u de vitamina A, 10 u de vitamina de vitamina
de vitamina D e 2 u de vitamina E.
(ii) O alimento II tem 9 u de vitamina u de B, 1 u de C, 1 u de D e 1 u de E.
(iii) O alimento III tem 2 u de vitamina de
de C, 1 u de D e 2 u de .
(iv) O alimento IV tem 1 u de de B, 1 u de C, 2 u de D e 13 u de E.
(v) O alimento V tem 1 u de A, 1 u de B, 1 u de C, 9 u de D e 2 u de E.
Quantos gramas de cada um dos alimentos I, II, III, IV e V devemos ingerir diariamente para que nossa alimentação seja equilibrada?
(i) O alimento I tem 1 u de vitamina A, 10 u de vitamina
(ii) O alimento II tem 9 u de vitamina
(iii) O alimento III tem 2 u de vitamina
(iv) O alimento IV tem 1 u de
(v) O alimento V tem 1 u de A, 1 u de B, 1 u de C, 9 u de D e 2 u de E.
Quantos gramas de cada um dos alimentos I, II, III, IV e V devemos ingerir diariamente para que nossa alimentação seja equilibrada?
Encontre a derivada direcional da função dada, no ponto dado e na direção do vetor dado.
-
.
Encontre a derivada direcional da função dada, no ponto dado e na direção do vetor dado.
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