Esboce a região cuja área é dada pela integral integralpi^3 pi2 integral1^2 r d r d theta e calcule-a. (2,5 pontos)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos uma integral dupla que representa a área de uma região no plano. O conteúdo aqui envolve coordenadas polares e o cálculo de áreas usando integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como as variáveis e definem essa região.

Passo 2

Vamos esboçar a região descrita pela integral. Em coordenadas polares:
  • varia de 1 a 2, o que significa que estamos entre dois círculos concêntricos com raios 1 e 2.
  • varia de a , ou seja, de 180° a 270°, que corresponde ao quarto quadrante no plano polar.
Portanto, a região é uma fatia de anel (entre os dois círculos) que vai do ângulo até .

Passo 3

Vamos calcular a integral interna integral1^2 r , dr = [12 r^2 ]1^2 = 12 (2^2) - 12 (1^2) = 12 (4 - 1) = 32 . Essa integral representa a área radial entre e para um ângulo fixo .

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral externa integralpi^3pi2 32 , dtheta = 32 [theta ]pi^3pi2 = 32 (3pi2 - pi) = 32 (pi2) = 3pi4 . Essa integral soma as áreas radiais para todo o intervalo de definido.

Resposta

A área da região é .

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