Esboce a região cuja área é dada pela integral
e calcule-a. (2,5 pontos)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos uma integral dupla
que representa a área de uma região no plano. O conteúdo aqui envolve coordenadas polares e o cálculo de áreas usando integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como as variáveis
e
definem essa região.
Passo 2
Vamos esboçar a região descrita pela integral. Em coordenadas polares:
-
varia de 1 a 2, o que significa que estamos entre dois círculos concêntricos com raios 1 e 2. -
varia de a , ou seja, de 180° a 270°, que corresponde ao quarto quadrante no plano polar.
Portanto, a região é uma fatia de anel (entre os dois círculos) que vai do ângulo
até
.
Passo 3
Vamos calcular a integral interna
. Essa integral representa a área radial entre
e
para um ângulo fixo
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral externa
. Essa integral soma as áreas radiais para todo o intervalo de
definido.
Resposta
A área da região é
.