Seja V um espaço vetorial com produto interno. Prove que |u+v|^2+|u-v|^2=2(|u|^2+|v|^2) para quaisquer u, v in V. Interprete esta igualdade geometricamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar uma igualdade envolvendo normais de vetores em um espaço vetorial com produto interno. Ou seja, estamos trabalhando com vetores e como medir suas magnitudes usando o produto interno. Vamos precisar usar as propriedades do produto interno e desenvolver as expressões para chegar na igualdade que queremos provar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor em um espaço com produto interno é definida por . Então, ao quadrado, temos . Isso vai ajudar a expandir as normais dos vetores e .

Passo 3

Vamos começar expandindo |u + v|^2 = lang<= u + v, u + v rang<= usando a definição da norma:
lang<= u + v, u + v rang<= = lang<= u, u rang<= + lang<= u, v rang<= + lang<= v, u rang<= + lang<= v, v rang<=
Aplicando a propriedade distributiva do produto interno:
|u + v|^2 = |u|^2 + 2lang<= u, v rang<= + |v|^2
Sabendo que , podemos simplificar para:

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para |u - v|^2 = lang<= u - v, u - v rang<= :
lang<= u - v, u - v rang<= = lang<= u, u rang<= - lang<= u, v rang<= - lang<= v, u rang<= + lang<= v, v rang<=
Explicando disso:
|u - v|^2 = |u|^2 - 2lang<= u, v rang<= + |v|^2
Novamente, como :

Passo 5

Agora, vamos somar as duas expressões que encontramos:
|u + v|^2 + |u - v|^2 = (|u|^2 + 2lang<= u, v rang<= + |v|^2) + (|u|^2 - 2lang<= u, v rang<= + |v|^2)
Simplificando os termos:
|u + v|^2 + |u - v|^2 = 2|u|^2 + 2|v|^2
Ou seja:
|u + v|^2 + |u - v|^2 = 2(|u|^2 + |v|^2)

Resposta

Pronto! Demonstramos que para quaisquer vetores e em um espaço vetorial com produto interno. Geometricamente, isso significa que a soma dos quadrados das diagonais de um paralelogramo formado por e é igual ao dobro da soma dos quadrados dos lados. É como dizer que, em termos de áreas, a combinação das magnitudes dos vetores mantém uma relação equilibrada quando somamos e subtraímos eles.

Exercícios relacionados