Seja
um espaço vetorial com produto interno. Prove que
para quaisquer
. Interprete esta igualdade geometricamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar uma igualdade envolvendo normais de vetores em um espaço vetorial com produto interno. Ou seja, estamos trabalhando com vetores e como medir suas magnitudes usando o produto interno. Vamos precisar usar as propriedades do produto interno e desenvolver as expressões para chegar na igualdade que queremos provar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor
em um espaço com produto interno é definida por
. Então, ao quadrado, temos
. Isso vai ajudar a expandir as normais dos vetores
e
.
Passo 3
Vamos começar expandindo
usando a definição da norma:
Aplicando a propriedade distributiva do produto interno:
Sabendo que
, podemos simplificar para:
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para
:
Explicando disso:
Novamente, como
:
Passo 5
Agora, vamos somar as duas expressões que encontramos:
Simplificando os termos:
Ou seja:
Resposta
Pronto! Demonstramos que
para quaisquer vetores
e
em um espaço vetorial com produto interno. Geometricamente, isso significa que a soma dos quadrados das diagonais de um paralelogramo formado por
e
é igual ao dobro da soma dos quadrados dos lados. É como dizer que, em termos de áreas, a combinação das magnitudes dos vetores mantém uma relação equilibrada quando somamos e subtraímos eles.