Seja um espaço vetorial com produto interno. Prove que para quaisquer . Interprete esta igualdade geometricamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar uma igualdade envolvendo normais de vetores em um espaço vetorial com produto interno. Ou seja, estamos trabalhando com vetores e como medir suas magnitudes usando o produto interno. Vamos precisar usar as propriedades do produto interno e desenvolver as expressões para chegar na igualdade que queremos provar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor em um espaço com produto interno é definida por . Então, ao quadrado, temos . Isso vai ajudar a expandir as normais dos vetores e .

Passo 3

Vamos começar expandindo usando a definição da norma:
Aplicando a propriedade distributiva do produto interno:
Sabendo que , podemos simplificar para:

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para :
Explicando disso:
Novamente, como :

Passo 5

Agora, vamos somar as duas expressões que encontramos:
Simplificando os termos:
Ou seja:

Resposta

Pronto! Demonstramos que para quaisquer vetores e em um espaço vetorial com produto interno. Geometricamente, isso significa que a soma dos quadrados das diagonais de um paralelogramo formado por e é igual ao dobro da soma dos quadrados dos lados. É como dizer que, em termos de áreas, a combinação das magnitudes dos vetores mantém uma relação equilibrada quando somamos e subtraímos eles.

Exercícios relacionados

Em cada parte, determine se a matriz está em forma escalonada, escalonada reduzida por linhas, ambas ou nenhuma das duas.
(b)
Resolva cada um dos sistemas do Exercício 8 por eliminação gaussiana.
(b)
Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan.
(d)
$ $