Seja um espaço vetorial com produto interno. Prove que para quaisquer . Interprete esta igualdade geometricamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar uma igualdade envolvendo normais de vetores em um espaço vetorial com produto interno. Ou seja, estamos trabalhando com vetores e como medir suas magnitudes usando o produto interno. Vamos precisar usar as propriedades do produto interno e desenvolver as expressões para chegar na igualdade que queremos provar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor em um espaço com produto interno é definida por . Então, ao quadrado, temos . Isso vai ajudar a expandir as normais dos vetores e .
Passo 3
Vamos começar expandindo usando a definição da norma:
Aplicando a propriedade distributiva do produto interno:
Sabendo que , podemos simplificar para:
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para :
Explicando disso:
Novamente, como :
Passo 5
Agora, vamos somar as duas expressões que encontramos:
Simplificando os termos:
Ou seja:
Resposta
Pronto! Demonstramos que para quaisquer vetores e em um espaço vetorial com produto interno. Geometricamente, isso significa que a soma dos quadrados das diagonais de um paralelogramo formado por e é igual ao dobro da soma dos quadrados dos lados. É como dizer que, em termos de áreas, a combinação das magnitudes dos vetores mantém uma relação equilibrada quando somamos e subtraímos eles.