9-10 Com uma calculadora programável (ou um computador), é possível calcular as expressōes para a soma das áreas de retângulos aproximantes, mesmo para valores grandes de n, usando laços. (Numa TI use o comando Is > ou um laço For-EndFor, numa Casio use Isz, numa HP ou no BASIC use um laço FOR-NEXT.) Calcule a soma das áreas dos retângulos aproximantes usando subintervalos iguais e extremidades direitas para n = 10, 30, 50 e 100. Então, conjecture o valor exato da área.
9. A região sob y = x^4 de 0 até 1 .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a área sob a curva de 0 até 1 usando somas de Riemann com retângulos. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente as somas de Riemann para aproximar áreas. Precisamos usar a fórmula das somas de Riemann com subintervalos iguais e extremidades direitas, e calcular para e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma soma de Riemann com extremos direitos. Dividimos o intervalo em subintervalos iguais, cada um com largura . Em seguida, para cada subintervalo, escolhemos o ponto à direita para calcular a altura do retângulo.

Passo 3

A fórmula para a soma de Riemann com extremos direitos é:
onde . No nosso caso, , , e . Então, a soma fica:

Passo 4

Precisamos calcular a soma dos termos de 1 até . Existe uma fórmula para isso:
Substituindo essa fórmula na expressão de :

Passo 5

Agora, vamos calcular para os valores de e :
Para :
Para :
Para :
Para :
Note que, conforme aumenta, o valor de se aproxima cada vez mais de 0.2.

Resposta

A soma das áreas dos retângulos aproximantes converge para ou 0.2, que é o valor exato da área sob a curva de 0 até 1.

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