9-10 Com uma calculadora programável (ou um computador), é possível calcular as expressōes para a soma das áreas de retângulos aproximantes, mesmo para valores grandes de
, usando laços. (Numa TI use o comando Is
ou um laço For-EndFor, numa Casio use Isz, numa HP ou no BASIC use um laço FOR-NEXT.) Calcule a soma das áreas dos retângulos aproximantes usando subintervalos iguais e extremidades direitas para
. Então, conjecture o valor exato da área.
9. A região sob
de 0 até 1 .
9. A região sob
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a área sob a curva
de 0 até 1 usando somas de Riemann com retângulos. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente as somas de Riemann para aproximar áreas. Precisamos usar a fórmula das somas de Riemann com subintervalos iguais e extremidades direitas, e calcular para
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma soma de Riemann com extremos direitos. Dividimos o intervalo
em
subintervalos iguais, cada um com largura
. Em seguida, para cada subintervalo, escolhemos o ponto à direita para calcular a altura do retângulo.
Passo 3
A fórmula para a soma de Riemann com extremos direitos é:
onde
. No nosso caso,
,
, e
. Então, a soma fica:
Passo 4
Precisamos calcular a soma dos termos
de 1 até
. Existe uma fórmula para isso:
Substituindo essa fórmula na expressão de
:
Passo 5
Agora, vamos calcular
para os valores de
e
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Note que, conforme
aumenta, o valor de
se aproxima cada vez mais de 0.2.
Resposta
A soma das áreas dos retângulos aproximantes converge para
ou 0.2, que é o valor exato da área sob a curva
de 0 até 1.
Exercícios relacionados
5 - (2,0) Determine o fluxo de
através de
em que
é a superfície do sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
, com o vetor normal a
apontando para fora.
(a) Faça o gráfico da função
Determine o ponto da curva
, no primeiro quadrante, cuja distância ao ponto
seja mínima.
Seja
um ponto crítico de
satisfazendo