Seja (2,1) um ponto crítico de f satisfazendo
0 < [fxy(2,1)]^2 - fxz(2,1) fyy(2,1)
Em(2,1) f tem mínimo local, máximo local ou ponto de sela?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que o ponto (2,1) é um ponto crítico da função f. Isso significa que as derivadas parciais de f em relação a x e y nesse ponto são zero. A questão pede para determinar se esse ponto é um mínimo local, máximo local ou um ponto de sela. Para resolver isso, vamos usar o teste das derivadas segundas, que ajuda a classificar pontos críticos com base nas derivadas parciais de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são derivadas parciais de segunda ordem. São as derivadas das derivadas parciais de primeira ordem. Por exemplo:
  • é a derivada parcial de segunda ordem em relação a x duas vezes.
  • é a derivada parcial de segunda ordem em relação a y duas vezes.
  • é a derivada parcial de segunda ordem primeiro em relação a x e depois em relação a y.
No teste das derivadas segundas para funções de duas variáveis, usamos o determinante da Hessiana, que é dado por:
Com base no valor de D e de , classificamos o ponto crítico:
  • Se e , temos um mínimo local.
  • Se e , temos um máximo local.
  • Se , temos um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

No enunciado, nos é dado que:
Parece que há um pequeno erro na notação, provavelmente o termo deveria ser , já que estamos trabalhando com duas variáveis ( x e y). Então, vamos considerar que a expressão correta é:
Isso significa que:
Ou seja:
Porque:

Passo 4

Agora, de acordo com o teste das derivadas segundas:
  • Se , o ponto crítico é um ponto de sela.

Resposta

Então, com base no teste das derivadas segundas, o ponto (2,1) é um ponto de sela.

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