Seja um ponto crítico de satisfazendo
tem mínimo local, máximo local ou ponto de sela?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que o ponto é um ponto crítico da função . Isso significa que as derivadas parciais de em relação a e nesse ponto são zero. A questão pede para determinar se esse ponto é um mínimo local, máximo local ou um ponto de sela. Para resolver isso, vamos usar o teste das derivadas segundas, que ajuda a classificar pontos críticos com base nas derivadas parciais de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são derivadas parciais de segunda ordem. São as derivadas das derivadas parciais de primeira ordem. Por exemplo:
  • é a derivada parcial de segunda ordem em relação a duas vezes.
  • é a derivada parcial de segunda ordem em relação a duas vezes.
  • é a derivada parcial de segunda ordem primeiro em relação a e depois em relação a .
No teste das derivadas segundas para funções de duas variáveis, usamos o determinante da Hessiana, que é dado por:
Com base no valor de e de , classificamos o ponto crítico:
  • Se e , temos um mínimo local.
  • Se e , temos um máximo local.
  • Se , temos um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

No enunciado, nos é dado que:
Parece que há um pequeno erro na notação, provavelmente o termo deveria ser , já que estamos trabalhando com duas variáveis ( e ). Então, vamos considerar que a expressão correta é:
Isso significa que:
Ou seja:
Porque:

Passo 4

Agora, de acordo com o teste das derivadas segundas:
  • Se , o ponto crítico é um ponto de sela.

Resposta

Então, com base no teste das derivadas segundas, o ponto é um ponto de sela.

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Determine o ponto da curva , no primeiro quadrante, cuja distância ao ponto seja mínima.
9-10 Com uma calculadora programável (ou um computador), é possível calcular as expressōes para a soma das áreas de retângulos aproximantes, mesmo para valores grandes de , usando laços. (Numa TI use o comando Is ou um laço For-EndFor, numa Casio use Isz, numa HP ou no BASIC use um laço FOR-NEXT.) Calcule a soma das áreas dos retângulos aproximantes usando subintervalos iguais e extremidades direitas para . Então, conjecture o valor exato da área.
9. A região sob de 0 até 1 .
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