Seja
um ponto crítico de
satisfazendo
tem mínimo local, máximo local ou ponto de sela?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que o ponto
é um ponto crítico da função
. Isso significa que as derivadas parciais de
em relação a
e
nesse ponto são zero. A questão pede para determinar se esse ponto é um mínimo local, máximo local ou um ponto de sela. Para resolver isso, vamos usar o teste das derivadas segundas, que ajuda a classificar pontos críticos com base nas derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são derivadas parciais de segunda ordem. São as derivadas das derivadas parciais de primeira ordem. Por exemplo:
-
é a derivada parcial de segunda ordem em relação a duas vezes. -
é a derivada parcial de segunda ordem em relação a duas vezes. -
é a derivada parcial de segunda ordem primeiro em relação a e depois em relação a .
No teste das derivadas segundas para funções de duas variáveis, usamos o determinante da Hessiana, que é dado por:
Com base no valor de
e de
, classificamos o ponto crítico:
- Se
e , temos um mínimo local. - Se
e , temos um máximo local. - Se
, temos um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
Passo 3
No enunciado, nos é dado que:
Parece que há um pequeno erro na notação, provavelmente o termo
deveria ser
, já que estamos trabalhando com duas variáveis (
e
). Então, vamos considerar que a expressão correta é:
Isso significa que:
Ou seja:
Porque:
Passo 4
Agora, de acordo com o teste das derivadas segundas:
- Se
, o ponto crítico é um ponto de sela.
Resposta
Então, com base no teste das derivadas segundas, o ponto
é um ponto de sela.
Exercícios relacionados
Determine o ponto da curva
, no primeiro quadrante, cuja distância ao ponto
seja mínima.
9-10 Com uma calculadora programável (ou um computador), é possível calcular as expressōes para a soma das áreas de retângulos aproximantes, mesmo para valores grandes de
, usando laços. (Numa TI use o comando Is
ou um laço For-EndFor, numa Casio use Isz, numa HP ou no BASIC use um laço FOR-NEXT.) Calcule a soma das áreas dos retângulos aproximantes usando subintervalos iguais e extremidades direitas para
. Então, conjecture o valor exato da área.
9. A região sob de 0 até 1 .
9. A região sob
9-10 Com uma calculadora programável (ou um computador), é possível calcular as expressōes para a soma das áreas de retângulos aproximantes, mesmo para valores grandes de
, usando laços. (Numa TI use o comando Is
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. Então, conjecture o valor exato da área.
10. A região sob de 0 até
.
10. A região sob
Determine o maior e o menor valor de
se
pertence ao segmento de reta de equação
.