Determine o ponto da curva y^2 = 4 x, no primeiro quadrante, cuja distância ao ponto 4,0 seja mínima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o ponto na curva , que está no primeiro quadrante, e que fica mais pertinho do ponto . Aqui, vamos usar conceitos de geometria analítica e otimização para descobrir esse ponto. Precisamos calcular a distância entre pontos no plano e encontrar onde essa distância é mínima.

Passo 2

Primeiro, vamos definir um ponto genérico na curva . A gente pode representar esse ponto como . Como o ponto está no primeiro quadrante, sabemos que e .

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre esse ponto e o ponto dado . A fórmula para a distância entre dois pontos e é:
Aplicando isso aos nossos pontos:

Passo 4

Para facilitar a minimização, vamos trabalhar com o quadrado da distância. Minimizar é o mesmo que minimizar , e isso evita a raiz quadrada na equação. Então, temos:

Passo 5

Sabemos que a curva é definida por . Podemos substituir por na equação da distância quadrada:
Vamos expandir e simplificar essa expressão:

Passo 6

Agora, nossa meta é encontrar o valor de que minimiza . Para isso, vamos calcular a derivada dessa função em relação a e encontrar onde essa derivada é zero:
Igualando a derivada a zero para encontrar o mínimo:

Passo 7

Com , vamos encontrar o valor correspondente de usando a equação da curva :

Resposta

O ponto na curva , no primeiro quadrante, que está mais próximo de é .

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