Determine o ponto da curva
, no primeiro quadrante, cuja distância ao ponto
seja mínima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o ponto na curva
, que está no primeiro quadrante, e que fica mais pertinho do ponto
. Aqui, vamos usar conceitos de geometria analítica e otimização para descobrir esse ponto. Precisamos calcular a distância entre pontos no plano e encontrar onde essa distância é mínima.
Passo 2
Primeiro, vamos definir um ponto genérico na curva
. A gente pode representar esse ponto como
. Como o ponto está no primeiro quadrante, sabemos que
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância entre esse ponto
e o ponto dado
. A fórmula para a distância entre dois pontos
e
é:
Aplicando isso aos nossos pontos:
Passo 4
Para facilitar a minimização, vamos trabalhar com o quadrado da distância. Minimizar
é o mesmo que minimizar
, e isso evita a raiz quadrada na equação. Então, temos:
Passo 5
Sabemos que a curva é definida por
. Podemos substituir
por
na equação da distância quadrada:
Vamos expandir e simplificar essa expressão:
Passo 6
Agora, nossa meta é encontrar o valor de
que minimiza
. Para isso, vamos calcular a derivada dessa função em relação a
e encontrar onde essa derivada é zero:
Igualando a derivada a zero para encontrar o mínimo:
Passo 7
Com
, vamos encontrar o valor correspondente de
usando a equação da curva
:
Resposta
O ponto na curva
, no primeiro quadrante, que está mais próximo de
é
.