5 - (2,0) Determine o fluxo de
através de
em que
é a superfície do sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
, com o vetor normal a
apontando para fora.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o fluxo do campo vetorial
através de uma superfície
. Essa superfície é definida por um cilindro
e pelos planos
e
. O vetor normal a
está apontando para fora. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência da matéria de Cálculo Vetorial. Basicamente, esse teorema ajuda a relacionar o fluxo através de uma superfície fechada com uma integral tripla sobre o volume limitado por essa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência é dada por:
Onde
,
e
.
Calculando cada derivada:
Então, a divergência fica:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema da Divergência. Ele nos diz que o fluxo através da superfície
é igual à integral tripla da divergência sobre o volume
limitado por
:
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
. Além disso,
.
Assim, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral passo a passo:
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
:
Multiplicando tudo:
Resposta
O fluxo de
através de
é igual a
.
Exercícios relacionados
(a) Faça o gráfico da função
9-10 Com uma calculadora programável (ou um computador), é possível calcular as expressōes para a soma das áreas de retângulos aproximantes, mesmo para valores grandes de
, usando laços. (Numa TI use o comando Is
ou um laço For-EndFor, numa Casio use Isz, numa HP ou no BASIC use um laço FOR-NEXT.) Calcule a soma das áreas dos retângulos aproximantes usando subintervalos iguais e extremidades direitas para
. Então, conjecture o valor exato da área.
9. A região sob de 0 até 1 .
9. A região sob
Determine o ponto da curva
, no primeiro quadrante, cuja distância ao ponto
seja mínima.