5 - (2,0) Determine o fluxo de através de em que é a superfície do sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e , com o vetor normal a apontando para fora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o fluxo do campo vetorial através de uma superfície . Essa superfície é definida por um cilindro e pelos planos e . O vetor normal a está apontando para fora. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência da matéria de Cálculo Vetorial. Basicamente, esse teorema ajuda a relacionar o fluxo através de uma superfície fechada com uma integral tripla sobre o volume limitado por essa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial . A divergência é dada por:
Onde , e .
Calculando cada derivada:
Então, a divergência fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema da Divergência. Ele nos diz que o fluxo através da superfície é igual à integral tripla da divergência sobre o volume limitado por :
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é . Além disso, .
Assim, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral passo a passo:
  1. Integral em :
  1. Integral em :
  1. Integral em :
Multiplicando tudo:

Resposta

O fluxo de através de é igual a .

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