(a) Faça o gráfico da função

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente fazer o gráfico da função no intervalo de entre 1 e 5. Isso pertence ao estudo de Funções Matemáticas e Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta, encontrar alguns pontos importantes como interceptos, pontos de máximo e mínimo, e ver como ela varia nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o domínio da função. O logaritmo natural, , só está definido para . Como o intervalo que nos interessa é de 1 a 5, estamos dentro do domínio da função. Então, vamos seguir!

Passo 3

Vamos encontrar o valor de em alguns pontos específicos dentro do intervalo para ter uma ideia de como a função se comporta. Por exemplo:
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada da função para entender onde ela está aumentando ou diminuindo, e para encontrar possíveis máximos ou mínimos. A derivada de é:

Passo 5

Vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, em , temos um ponto crítico.

Passo 6

Para saber se esse ponto é máximo ou mínimo, vamos analisar o sinal da derivada antes e depois de :
  • Para , digamos : çã
  • Para , digamos : çã
Como a derivada muda de negativa para positiva em , isso indica que temos um mínimo nesse ponto.

Passo 7

Vamos resumir os pontos importantes encontrados:
  • Intercepto com o eixo : Quando , .
  • Ponto de mínimo: Em , .
  • Valores nos extremos do intervalo: Em , e em , .

Passo 8

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função no intervalo de 1 a 5:
  1. Plote os pontos calculados: (1, 1), (2, 0,614), (3, 0,8028), e (5, 1,7812).
  2. Note que a função atinge um mínimo em .
  3. A função está decrescendo de 1 a 2 e crescendo de 2 a 5.
  4. Conecte os pontos suavemente, garantindo que o comportamento da função respeite os pontos de mínimo e as tendências de crescimento e decrescimento.

Resposta

O gráfico da função no intervalo de apresenta um ponto de mínimo em com , inicia em , diminui até o mínimo e depois cresce, finalizando em . A curva é suave, decrescente de 1 a 2 e crescente de 2 a 5.

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