(a) Faça o gráfico da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente fazer o gráfico da função
no intervalo de
entre 1 e 5. Isso pertence ao estudo de Funções Matemáticas e Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta, encontrar alguns pontos importantes como interceptos, pontos de máximo e mínimo, e ver como ela varia nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o domínio da função. O logaritmo natural,
, só está definido para
. Como o intervalo que nos interessa é de 1 a 5, estamos dentro do domínio da função. Então, vamos seguir!
Passo 3
Vamos encontrar o valor de
em alguns pontos específicos dentro do intervalo para ter uma ideia de como a função se comporta. Por exemplo:
- Quando
: - Quando
: - Quando
: - Quando
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada da função para entender onde ela está aumentando ou diminuindo, e para encontrar possíveis máximos ou mínimos. A derivada de
é:
Passo 5
Vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, em
, temos um ponto crítico.
Passo 6
Para saber se esse ponto é máximo ou mínimo, vamos analisar o sinal da derivada antes e depois de
:
- Para
, digamos : - Para
, digamos :
Como a derivada muda de negativa para positiva em
, isso indica que temos um mínimo nesse ponto.
Passo 7
Vamos resumir os pontos importantes encontrados:
- Intercepto com o eixo
: Quando , . - Ponto de mínimo: Em
, . - Valores nos extremos do intervalo: Em
, e em , .
Passo 8
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função
no intervalo de 1 a 5:
- Plote os pontos calculados: (1, 1), (2, 0,614), (3, 0,8028), e (5, 1,7812).
- Note que a função atinge um mínimo em
. - A função está decrescendo de 1 a 2 e crescendo de 2 a 5.
- Conecte os pontos suavemente, garantindo que o comportamento da função respeite os pontos de mínimo e as tendências de crescimento e decrescimento.
Resposta
O gráfico da função
no intervalo de
apresenta um ponto de mínimo em
com
, inicia em
, diminui até o mínimo e depois cresce, finalizando em
. A curva é suave, decrescente de 1 a 2 e crescente de 2 a 5.