9-10 Com uma calculadora programável (ou um computador), é possível calcular as expressōes para a soma das áreas de retângulos aproximantes, mesmo para valores grandes de n, usando laços. (Numa TI use o comando Is > ou um laço For-EndFor, numa Casio use Isz, numa HP ou no BASIC use um laço FOR-NEXT.) Calcule a soma das áreas dos retângulos aproximantes usando subintervalos iguais e extremidades direitas para n = 10, 30, 50 e 100. Então, conjecture o valor exato da área.
10. A região sob y = cos(x) de 0 até pi / 2.

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve calcular a soma das áreas de retângulos aproximantes para a função no intervalo de a . Usaremos subintervalos de mesmo tamanho e as extremidades direitas para diferentes valores de (10, 30, 50 e 100). Para isso, vamos utilizar a técnica de somas de Riemann, que nos ajuda a aproximar a área sob uma curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que são somas de Riemann. Elas são uma maneira de aproximar a área sob uma curva dividindo o intervalo em pequenos subintervalos, calculando a área de retângulos em cada subintervalo e somando todas essas áreas. Usaremos as extremidades direitas dos subintervalos para determinar a altura de cada retângulo.

Passo 3

Vamos definir a largura de cada subintervalo ( ) e os pontos de avaliação ( ) para calcular a altura dos retângulos. A largura é dada por:
Onde , , e é o número de subintervalos.

Passo 4

Os pontos de avaliação das extremidades direitas são:
A altura de cada retângulo será , já que estamos usando as extremidades direitas.

Passo 5

A soma das áreas dos retângulos aproximantes ( ) é então:
Vamos calcular para e .

Passo 6

Para :
Calculando cada termo e somando, obtemos:

Passo 7

Para :
Calculando cada termo e somando, obtemos:

Passo 8

Para :
Calculando cada termo e somando, obtemos:

Passo 9

Para :
Calculando cada termo e somando, obtemos:

Resposta

Conforme aumentamos o número de subintervalos , a soma das áreas dos retângulos aproximantes se aproxima cada vez mais de . Portanto, podemos conjecturar que o valor exato da área sob de até é .

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