9-10 Com uma calculadora programável (ou um computador), é possível calcular as expressōes para a soma das áreas de retângulos aproximantes, mesmo para valores grandes de
, usando laços. (Numa TI use o comando Is
ou um laço For-EndFor, numa Casio use Isz, numa HP ou no BASIC use um laço FOR-NEXT.) Calcule a soma das áreas dos retângulos aproximantes usando subintervalos iguais e extremidades direitas para
. Então, conjecture o valor exato da área.
10. A região sob
de 0 até
.
10. A região sob
Passo 1
Vamos resolver um exercício que envolve calcular a soma das áreas de retângulos aproximantes para a função
no intervalo de
a
. Usaremos subintervalos de mesmo tamanho e as extremidades direitas para diferentes valores de
(10, 30, 50 e 100). Para isso, vamos utilizar a técnica de somas de Riemann, que nos ajuda a aproximar a área sob uma curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que são somas de Riemann. Elas são uma maneira de aproximar a área sob uma curva dividindo o intervalo em pequenos subintervalos, calculando a área de retângulos em cada subintervalo e somando todas essas áreas. Usaremos as extremidades direitas dos subintervalos para determinar a altura de cada retângulo.
Passo 3
Vamos definir a largura de cada subintervalo (
) e os pontos de avaliação (
) para calcular a altura dos retângulos. A largura é dada por:
Onde
,
, e
é o número de subintervalos.
Passo 4
Os pontos de avaliação das extremidades direitas são:
A altura de cada retângulo será
, já que estamos usando as extremidades direitas.
Passo 5
A soma das áreas dos retângulos aproximantes (
) é então:
Vamos calcular
para
e
.
Passo 6
Para
:
Calculando cada termo e somando, obtemos:
Passo 7
Para
:
Calculando cada termo e somando, obtemos:
Passo 8
Para
:
Calculando cada termo e somando, obtemos:
Passo 9
Para
:
Calculando cada termo e somando, obtemos:
Resposta
Conforme aumentamos o número de subintervalos
, a soma das áreas dos retângulos aproximantes se aproxima cada vez mais de
. Portanto, podemos conjecturar que o valor exato da área sob
de
até
é
.
Exercícios relacionados
Seja
um ponto crítico de
satisfazendo
Determine o ponto da curva
, no primeiro quadrante, cuja distância ao ponto
seja mínima.
Determine o maior e o menor valor de
se
pertence ao segmento de reta de equação
.
(a)
, use os comandos discutidos no Exercício 11 para encontrar as somas esquerda e direita para
.