(a) Se f(x) = ln(x), 1 <= x <= 4, use os comandos discutidos no Exercício 11 para encontrar as somas esquerda e direita para n = 10, 30 e 50.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve somas de Riemann, especificamente as somas esquerda e direita para a função no intervalo de . Para isso, precisamos entender como calcular essas somas utilizando a divisão do intervalo em subintervalos. Vamos calcular para , e .

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o intervalo em partes iguais. O comprimento de cada subintervalo, chamado de largura ( ), é dado por:
Isso significa que cada subintervalo terá uma largura de .

Passo 3

Para a soma esquerda, escolhemos o ponto inicial de cada subintervalo para calcular a altura dos retângulos. Os pontos serão:
A soma esquerda ( ) é então:

Passo 4

Para a soma direita, escolhemos o ponto final de cada subintervalo para calcular a altura dos retângulos. Os pontos serão:
A soma direita ( ) é então:

Passo 5

Vamos calcular as somas esquerda e direita para cada valor de .
Para :
Calculamos e somando os valores de multiplicados por .
Para :
Novamente, somamos os valores de multiplicados por para e .
Para :
Realizamos a soma dos multiplicados por para obter e .

Passo 6

Após calcular todas as somas para cada , comparamos os resultados para ver como a aproximação melhora à medida que aumenta.

Resposta

As somas esquerda e direita para no intervalo são calculadas conforme os passos acima para , e . Conforme aumenta, as somas se aproximam do valor real da integral de de 1 a 4.

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