(a)
, use os comandos discutidos no Exercício 11 para encontrar as somas esquerda e direita para
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve somas de Riemann, especificamente as somas esquerda e direita para a função
no intervalo de
. Para isso, precisamos entender como calcular essas somas utilizando a divisão do intervalo em
subintervalos. Vamos calcular para
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o intervalo
em
partes iguais. O comprimento de cada subintervalo, chamado de largura (
), é dado por:
Isso significa que cada subintervalo terá uma largura de
.
Passo 3
Para a soma esquerda, escolhemos o ponto inicial de cada subintervalo para calcular a altura dos retângulos. Os pontos serão:
A soma esquerda (
) é então:
Passo 4
Para a soma direita, escolhemos o ponto final de cada subintervalo para calcular a altura dos retângulos. Os pontos serão:
A soma direita (
) é então:
Passo 5
Vamos calcular as somas esquerda e direita para cada valor de
.
Para
:
Calculamos
e
somando os valores de
multiplicados por
.
Para
:
Novamente, somamos os valores de
multiplicados por
para
e
.
Para
:
Realizamos a soma dos
multiplicados por
para obter
e
.
Passo 6
Após calcular todas as somas para cada
, comparamos os resultados para ver como a aproximação melhora à medida que
aumenta.
Resposta
As somas esquerda e direita para
no intervalo
são calculadas conforme os passos acima para
,
e
. Conforme
aumenta, as somas se aproximam do valor real da integral de
de 1 a 4.