Determine o maior e o menor valor de
se
pertence ao segmento de reta de equação
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o maior e o menor valor da função
quando
está no segmento de reta dado pela equação
e
. Aqui, vamos usar conceitos de otimização de funções com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a restrição
. Isso significa que
. Com isso, podemos substituir
na função
para que ela fique somente em termos de
.
Passo 3
Substituindo
na função, temos:
Vamos simplificar o expoente:
Então, a função fica:
Passo 4
Agora, queremos encontrar os valores máximos e mínimos de
no intervalo
. Como a função exponencial é crescente, o comportamento de
depende de
. Vamos analisar essa expressão quadrática.
Passo 5
A função quadrática
tem a forma
, onde
,
e
. O vértice dessa parábola está em:
Como a concavidade é para cima (
), o vértice representa o ponto mínimo de
.
Passo 6
Vamos calcular
,
e
:
Passo 7
Agora, substituindo esses valores na função
:
Então, o menor valor ocorre em
e o maior valor ocorre em
.
Resposta
O menor valor da função é aproximadamente
em
e o maior valor é aproximadamente
em
.
Exercícios relacionados
9-10 Com uma calculadora programável (ou um computador), é possível calcular as expressōes para a soma das áreas de retângulos aproximantes, mesmo para valores grandes de
, usando laços. (Numa TI use o comando Is
ou um laço For-EndFor, numa Casio use Isz, numa HP ou no BASIC use um laço FOR-NEXT.) Calcule a soma das áreas dos retângulos aproximantes usando subintervalos iguais e extremidades direitas para
. Então, conjecture o valor exato da área.
10. A região sob de 0 até
.
10. A região sob
Seja
um ponto crítico de
satisfazendo
(a)
, use os comandos discutidos no Exercício 11 para encontrar as somas esquerda e direita para
.