10
Dados os vetores x, y, z in R^2, determine escalares a, b in R tais que a x+b y=z.
(a) x=(1,1), y=(-2,5), z=(4,-3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada é a seguinte: temos três vetores no plano (ou seja, no ) e precisamos achar dois números, e , que façam a combinação ser igual ao vetor . Para isso, vamos usar um pouco de álgebra linear e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir os vetores pelos seus valores. Temos:
x = (1,1), y = (-2,5), z = (4,-3)
Então, a equação a cdot (1,1) + b cdot (-2,5) = (4,-3) fica:

Passo 3

Agora, vamos distribuir os escalares (a cdot 1 + b cdot (-2), , a cdot 1 + b cdot 5) = (4,-3) e (a - 2b, , a + 5b) = (4, -3) nos vetores:
O que dá:

Passo 4

Essa igualdade de vetores significa que as componentes correspondentes devem ser iguais. Assim, temos um sistema de duas equações:
a - 2b = 4 a + 5b = -3
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 5

Vamos usar o método da substituição. Da primeira equação:
a = 4 + 2b
Agora, substituímos esse valor de (4 + 2b) + 5b = -3 na segunda equação:
4 + 7b = -3
Simplificando:
7b = -7
Subtraindo 4 dos dois lados:
b = -1
Dividindo por 7:

Passo 6

Agora que temos a = 4 + 2(-1) = 4 - 2 = 2 , substituímos de volta na expressão para :

Resposta

Os escalares que satisfazem são e .

Exercícios relacionados

9
Dados os vetores x, y in Z13^2, determine escalares a, b in Z13 não todos nulos tais que a x+b y=0.
(a) x=(2,3), y=(12,0)
8
Dados os vetores x, y in R^2, determine escalares a, b in R não todos nulos tais que a x+b y=0.
(a) x=(2,3), y=(-4,-6)
Dados os vetores x, y, z in Z19^2, determine escalares a, b in Z19 tais que a x+b y=z.
© x=(3,2), y=(7,11), z=(4,9)
Determine quais dos seguintes pares são vetores em U=x in R^2 mid x1+x2=0.
(b) y=(1317,-1317)