8
Dados os vetores x, y in R^2, determine escalares a, b in R não todos nulos tais que a x+b y=0.
(a) x=(2,3), y=(-4,-6)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois vetores no plano, e , e precisamos encontrar escalares e que não sejam ambos zero, de forma que a combinação linear . Para resolver isso, vamos montar um sistema de equações usando as componentes dos vetores.

Passo 2

Vamos escrever a combinação linear a(2, 3) + b(-4, -6) = (0, 0) em termos das suas componentes:
2a - 4b = 0 (1)
Isso resulta nas seguintes equações para cada componente:
3a - 6b = 0 (2)

Passo 3

Observamos que a segunda equação é apenas o dobro da primeira, ou seja, as duas equações são equivalentes. Isso significa que temos infinitas soluções para e , desde que elas satisfaçam .

Passo 4

Vamos resolver a equação 2a = 4b implies a = 2b para encontrar uma relação entre e :
Isso nos indica que qualquer valor de gera um valor de correspondente que satisfaz a equação.

Passo 5

Para encontrar uma solução específica, podemos escolher um valor para um dos escalares. Por exemplo, se escolhermos a = 2 times 1 = 2 , então:

Resposta

Uma solução é e , ou seja, .

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7
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9
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10
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