Dados os vetores x, y, z in Z19^2, determine escalares a, b in Z19 tais que a x+b y=z.
© x=(3,2), y=(7,11), z=(4,9)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores no espaço :
Queremos encontrar dois números, e , também em , tais que quando fazemos a combinação linear , o resultado seja igual a . Basicamente, precisamos resolver um sistema de equações lineares modular.

Passo 2

Vamos escrever as equações correspondentes à combinação linear:
a cdot 3 + b cdot 7 equiv 4 pmod19
a cdot 2 + b cdot 11 equiv 9 pmod19
Isso nos dá o seguinte sistema de congruências:
3a + 7b equiv 4 pmod19
2a + 11b equiv 9 pmod19

Passo 3

Nosso objetivo é resolver esse sistema para 2 times (3a + 7b) equiv 2 times 4 pmod19 6a + 14b equiv 8 pmod19 e 3 times (2a + 11b) equiv 3 times 9 pmod19 6a + 33b equiv 27 pmod19 . Vamos usar o método da substituição ou da eliminação. Vamos optar pela eliminação. Primeiro, precisamos eliminar uma das variáveis.
Vamos multiplicar a primeira equação por 2 e a segunda por 3 para que os coeficientes de fiquem iguais:

Passo 4

Agora, subtraímos a primeira equação modificada da segunda para eliminar (6a + 33b) - (6a + 14b) equiv 27 - 8 pmod19 :
19b equiv 19 pmod19
0 equiv 0 pmod19
Como , a equação simplifica para:
Isso significa que as duas equações são equivalentes, e precisamos encontrar outra maneira de isolar uma das variáveis.

Passo 5

Vamos resolver uma das equações para uma das variáveis. Vamos pegar a primeira equação:
3a + 7b equiv 4 pmod19
Vamos resolver para 3a equiv 4 - 7b pmod19 :
3 times 13 = 39 equiv 1 pmod19
Para isolar a equiv 13 times (4 - 7b) pmod19 , precisamos multiplicar ambos os lados pelo inverso multiplicativo de 3 modulo 19. O inverso de 3 mod 19 é um número que, quando multiplicado por 3, dá 1 mod 19. Testando:
a equiv 52 - 91b pmod19
Então, o inverso de 3 é 13. Multiplicando ambos os lados por 13:
52 mod 19 = 14
91 mod 19 = 15
Simplificando os termos:
a equiv 14 - 15b pmod19
Então:

Passo 6

Agora, substituímos 2a + 11b equiv 9 pmod19 na segunda equação:
2(14 - 15b) + 11b equiv 9 pmod19
28 - 30b + 11b equiv 9 pmod19
28 - 19b equiv 9 pmod19
28 equiv 9 pmod19
Como 9 equiv 9 pmod19 , simplificamos:
Subtraindo 19 de 28:
Isso confirma que nossa expressão para está correta, mas precisamos determinar . Vamos escolher valores para que satisfaçam a equação.

Passo 7

Vamos buscar valores de a equiv 14 - 15 times 1 equiv 14 - 15 equiv -1 equiv 18 pmod19 que satisfaçam os cálculos anteriores. Observando que 2 times 18 + 11 times 1 equiv 36 + 11 equiv 47 equiv 9 pmod19 , podemos escolher :
Vamos verificar se e satisfazem a segunda equação:
Como , está correto.

Resposta

Os escalares são e em tais que .

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