Dados os vetores
, determine escalares
tais que
.
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores no espaço
:
Queremos encontrar dois números,
e
, também em
, tais que quando fazemos a combinação linear
, o resultado seja igual a
. Basicamente, precisamos resolver um sistema de equações lineares modular.
Passo 2
Vamos escrever as equações correspondentes à combinação linear:
Isso nos dá o seguinte sistema de congruências:
Passo 3
Nosso objetivo é resolver esse sistema para
e
. Vamos usar o método da substituição ou da eliminação. Vamos optar pela eliminação. Primeiro, precisamos eliminar uma das variáveis.
Vamos multiplicar a primeira equação por 2 e a segunda por 3 para que os coeficientes de
fiquem iguais:
Passo 4
Agora, subtraímos a primeira equação modificada da segunda para eliminar
:
Como
, a equação simplifica para:
Isso significa que as duas equações são equivalentes, e precisamos encontrar outra maneira de isolar uma das variáveis.
Passo 5
Vamos resolver uma das equações para uma das variáveis. Vamos pegar a primeira equação:
Vamos resolver para
:
Para isolar
, precisamos multiplicar ambos os lados pelo inverso multiplicativo de 3 modulo 19. O inverso de 3 mod 19 é um número que, quando multiplicado por 3, dá 1 mod 19. Testando:
Então, o inverso de 3 é 13. Multiplicando ambos os lados por 13:
Simplificando os termos:
Então:
Passo 6
Agora, substituímos
na segunda equação:
Como
, simplificamos:
Subtraindo 19 de 28:
Isso confirma que nossa expressão para
está correta, mas precisamos determinar
. Vamos escolher valores para
que satisfaçam a equação.
Passo 7
Vamos buscar valores de
que satisfaçam os cálculos anteriores. Observando que
, podemos escolher
:
Vamos verificar se
e
satisfazem a segunda equação:
Como
, está correto.
Resposta
Os escalares são
e
em
tais que
.
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10
Dados os vetores , determine escalares
tais que
.
(a)
Dados os vetores
(a)
9
Dados os vetores , determine escalares
não todos nulos tais que
.
(a)
Dados os vetores
(a)
Determine quais dos seguintes pares são vetores em
.
(b)
(b)
Determine quais dos seguintes pares são vetores em
.
(b)
(b)