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Dados os vetores x, y in Z13^2, determine escalares a, b in Z13 não todos nulos tais que a x+b y=0.
(a) x=(2,3), y=(12,0)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra linear que envolve vetores em um espaço sobre o conjunto de inteiros modulo 13, ou seja, Z13^2. Precisamos encontrar escalares a e b em Z13, que não sejam ambos zero, tais que a combinação linear a x + b y = 0 seja satisfeita para os vetores x = (2,3) e y = (12,0).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a combinação linear a x + b y = 0. Isso quer dizer que:
a cdot (2,3) + b cdot (12,0) = (0,0)
Que, ao multiplicar os escalares pelos vetores, resulta em:
(2a + 12b, 3a + 0b) = (0,0)

Passo 3

Agora, isso nos dá um sistema de duas equações:
2a + 12b equiv 0 pmod13 3a equiv 0 pmod13
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de a e b.

Passo 4

Começando pela segunda equação: 3a equiv 0 pmod13. Para encontrar a, precisamos saber qual número multiplicado por 3 dá 0 no módulo 13. Sabemos que 3 e 13 são coprimos, então a única solução para a é:
a equiv 0 pmod13

Passo 5

Substituindo a = 0 na primeira equação: 2(0) + 12b equiv 0 pmod13. Isso simplifica para:
12b equiv 0 pmod13
Agora, precisamos encontrar b. Como 12 e 13 também são coprimos, a única solução para b é:
b equiv 0 pmod13

Passo 6

Portanto, a única solução para o sistema é a = 0 e b = 0. Isso significa que não existem escalares a e b em Z13, diferentes de zero, que satisfazem a equação a x + b y = 0 para os vetores dados.

Resposta

Os únicos escalares que satisfazem a x + b y = 0 são a = 0 e b = 0. Não existem soluções não triviais.

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10
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