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Dados os vetores
, determine escalares
não todos nulos tais que
.
(a)
Dados os vetores
(a)
Passo 1
Vamos resolver um exercício de álgebra linear que envolve vetores em um espaço sobre o conjunto de inteiros modulo 13, ou seja,
. Precisamos encontrar escalares
e
em
, que não sejam ambos zero, tais que a combinação linear
seja satisfeita para os vetores
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a combinação linear
. Isso quer dizer que:
Que, ao multiplicar os escalares pelos vetores, resulta em:
Passo 3
Agora, isso nos dá um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
e
.
Passo 4
Começando pela segunda equação:
. Para encontrar
, precisamos saber qual número multiplicado por 3 dá 0 no módulo 13. Sabemos que 3 e 13 são coprimos, então a única solução para
é:
Passo 5
Substituindo
na primeira equação:
. Isso simplifica para:
Agora, precisamos encontrar
. Como 12 e 13 também são coprimos, a única solução para
é:
Passo 6
Portanto, a única solução para o sistema é
e
. Isso significa que não existem escalares
e
em
, diferentes de zero, que satisfazem a equação
para os vetores dados.
Resposta
Os únicos escalares que satisfazem
são
e
. Não existem soluções não triviais.
Exercícios relacionados
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Dados os vetores , determine escalares
não todos nulos tais que
.
(a)
Dados os vetores
(a)
Dados os conjuntos
e
, escreva os seguintes vetores como soma de um elemento de
e outro de
.
(d)
(d)
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Dados os vetores , determine escalares
tais que
.
(a)
Dados os vetores
(a)
Dados os vetores
, determine escalares
tais que
.
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