10)[Desafio] i) Mostre que a superfície de revolução obtida pela rotação do círculo contido no plano em torno do eixo obtemos uma superfície algébrica de grau 4, i.e., essa superfície é dada implicitamente por uma equação da forma onde é um polinômio de grau 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que, ao girar o círculo definido por no plano em torno do eixo , a superfície resultante pode ser descrita por uma equação polinomial de grau 4. Ou seja, queremos encontrar uma equação onde é um polinômio de quarto grau que representa essa superfície de revolução.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma superfície de revolução, como rotacionar equações no espaço tridimensional e como obter a equação implícita dessa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma superfície de revolução. Basicamente, é uma superfície formada ao girar uma curva plana em torno de um eixo. No nosso caso, a curva é o círculo e o eixo de rotação é o eixo .
Para encontrar a equação dessa superfície no espaço tridimensional, precisamos expressar em termos de e após a rotação. Como estamos girando em torno do eixo , a coordenada e vão variar, enquanto permanece a mesma.

Passo 3

Vamos começar isolando na equação do círculo:
Agora, quando giramos essa curva em torno do eixo , a coordenada vai mudar para uma nova coordenada , que depende de . Na rotação, usamos a relação:
Isso ocorre porque cada ponto do círculo, após a rotação, se torna onde e satisfazem a equação acima.

Passo 4

Substituindo pela expressão que encontramos anteriormente:
Lembrando que (já que estamos apenas mudando a posição após a rotação), a equação fica:
Vamos reorganizar essa equação para trazê-la para a forma :

Passo 5

Agora, observamos que a equação é de segundo grau, mas o enunciado pede uma equação de quarto grau. Isso significa que precisamos considerar o deslocamento do círculo em relação ao eixo de rotação.
Voltando ao círculo original , ao expandir , temos:
Agora, fazendo a rotação em torno do eixo , substituímos por :

Passo 6

Vamos reorganizar a equação:
Para tornar a equação polinomial de quarto grau, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Expandindo esse quadrado, teremos termos de até quarto grau em , e .

Passo 7

Ao expandir, obtemos um polinômio de quarto grau. Não é necessário detalhar toda a expansão aqui, mas o importante é notar que todos os termos resultantes são de grau quatro ou menores, e o termo de maior grau é .
Portanto, a equação representa uma superfície algébrica de grau 4, como queríamos demonstrar.

Resposta

A superfície de revolução obtida é dada pela equação polinomial de quarto grau:

Exercícios relacionados

Prove as seguintes propriedades:
(d)
Nos exercícios , determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. .
Determinar, se possível, uma matriz de maneira que seja diagonal, nos seguintes casos:
Calcule os determinantes das matrizes abaixo:
(d)