10)[Desafio] i) Mostre que a superfície de revolução obtida pela rotação do círculo
contido no plano
em torno do eixo
obtemos uma superfície algébrica de grau 4, i.e., essa superfície é dada implicitamente por uma equação da forma
onde
é um polinômio de grau 4.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que, ao girar o círculo definido por
no plano
em torno do eixo
, a superfície resultante pode ser descrita por uma equação polinomial de grau 4. Ou seja, queremos encontrar uma equação
onde
é um polinômio de quarto grau que representa essa superfície de revolução.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma superfície de revolução, como rotacionar equações no espaço tridimensional e como obter a equação implícita dessa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma superfície de revolução. Basicamente, é uma superfície formada ao girar uma curva plana em torno de um eixo. No nosso caso, a curva é o círculo
e o eixo de rotação é o eixo
.
Para encontrar a equação dessa superfície no espaço tridimensional, precisamos expressar
em termos de
e
após a rotação. Como estamos girando em torno do eixo
, a coordenada
e
vão variar, enquanto
permanece a mesma.
Passo 3
Vamos começar isolando
na equação do círculo:
Agora, quando giramos essa curva em torno do eixo
, a coordenada
vai mudar para uma nova coordenada
, que depende de
. Na rotação, usamos a relação:
Isso ocorre porque cada ponto
do círculo, após a rotação, se torna
onde
e
satisfazem a equação acima.
Passo 4
Substituindo
pela expressão que encontramos anteriormente:
Lembrando que
(já que estamos apenas mudando a posição após a rotação), a equação fica:
Vamos reorganizar essa equação para trazê-la para a forma
:
Passo 5
Agora, observamos que a equação
é de segundo grau, mas o enunciado pede uma equação de quarto grau. Isso significa que precisamos considerar o deslocamento do círculo em relação ao eixo de rotação.
Voltando ao círculo original
, ao expandir
, temos:
Agora, fazendo a rotação em torno do eixo
, substituímos
por
:
Passo 6
Vamos reorganizar a equação:
Para tornar a equação polinomial de quarto grau, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Expandindo esse quadrado, teremos termos de até quarto grau em
,
e
.
Passo 7
Ao expandir, obtemos um polinômio de quarto grau. Não é necessário detalhar toda a expansão aqui, mas o importante é notar que todos os termos resultantes são de grau quatro ou menores, e o termo de maior grau é
.
Portanto, a equação
representa uma superfície algébrica de grau 4, como queríamos demonstrar.
Resposta
A superfície de revolução obtida é dada pela equação polinomial de quarto grau:
Exercícios relacionados
Prove as seguintes propriedades:
(d)
(d)
Nos exercícios
, determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente.
.
Determinar, se possível, uma matriz
de maneira que
seja diagonal, nos seguintes casos:
Calcule os determinantes das matrizes abaixo:
(d)
(d)