Calcule os determinantes das matrizes abaixo:
(d)

Passo 1

Ok, vamos lá! O problema pede para calcular o determinante de uma matriz quadrada . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o cálculo de determinantes. Vamos precisar aplicar operações de linha para simplificar a matriz e facilitar o cálculo do determinante.

Passo 2

Primeiro, observamos que a matriz tem muitos zeros na parte inferior esquerda. Isso é ótimo porque podemos usar a propriedade de que o determinante de uma matriz triangular (onde abaixo ou acima da diagonal principal tudo é zero) é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Vamos tentar transformar em uma matriz triangular.

Passo 3

Vamos realizar operações de linha para zerar os elementos abaixo da diagonal. Começamos pela terceira coluna, já que as duas primeiras colunas já têm zeros abaixo do segundo elemento.

Passo 4

Primeiro, mantemos a primeira e segunda linhas como estão. Agora, precisamos zerar os elementos da terceira coluna na quarta e quinta linhas.

Passo 5

Para zerar o elemento da quarta linha, terceira coluna (que é 5), podemos substituir a quarta linha pela quarta linha menos 5 vezes a terceira linha:
Fazendo isso:
Então, a quarta linha fica:

Passo 6

Agora, zeramos o elemento da quinta linha, terceira coluna (que é 2). Substituímos a quinta linha pela quinta linha menos 2 vezes a terceira linha:
Fazendo isso:
Então, a quinta linha fica:

Passo 7

Agora, nossa matriz está assim:
Perceba que agora temos uma matriz triangular superior, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero.

Passo 8

Para calcular o determinante de uma matriz triangular superior, basta multiplicar os elementos da diagonal principal:

Passo 9

Vamos fazer as multiplicações:

Resposta

O determinante da matriz é .

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Determinar, se possível, uma matriz de maneira que seja diagonal, nos seguintes casos:
10)[Desafio] i) Mostre que a superfície de revolução obtida pela rotação do círculo contido no plano em torno do eixo obtemos uma superfície algébrica de grau 4, i.e., essa superfície é dada implicitamente por uma equação da forma onde é um polinômio de grau 4.
Considere os vetores . Determine o valor de para que o vetor seja ortogonal ao vetor
Nos exercícios , determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. .