Determinar, se possível, uma matriz de maneira que seja diagonal, nos seguintes casos:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir se existe uma matriz de tamanho com números reais tal que, ao fazer , a matriz resultante seja diagonal. Isso está relacionado ao conteúdo de diagonalização de matrizes. Para resolver, vamos precisar encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz . Valores próprios são números que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade e representa os valores próprios.
A matriz é:
Então, calculamos o determinante de :
Agora, resolvemos a equação quadrática :
Então, os valores próprios são:

Passo 3

Agora que temos os valores próprios e , vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Para :
Isso nos leva ao sistema:
Então, um vetor próprio correspondente a é:
Para :
Isso nos leva ao sistema:
Então, um vetor próprio correspondente a é:

Passo 4

Agora que encontramos dois vetores próprios distintos ( e ), precisamos verificar se eles são linearmente independentes. Se forem, podemos formar a matriz com esses vetores como colunas, e essa matriz será invertível.
Para verificar a independência, calculamos o determinante de :
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes, e a matriz é invertível.

Passo 5

Agora, podemos formar a matriz diagonal desejada colocando os valores próprios na diagonal:
E, conforme a propriedade de diagonalização, temos:
Portanto, encontramos a matriz que diagonaliza .

Resposta

Sim, é possível diagonalizar a matriz usando a matriz
assim, temos

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10)[Desafio] i) Mostre que a superfície de revolução obtida pela rotação do círculo contido no plano em torno do eixo obtemos uma superfície algébrica de grau 4, i.e., essa superfície é dada implicitamente por uma equação da forma onde é um polinômio de grau 4.
Prove as seguintes propriedades:
(d)
Calcule os determinantes das matrizes abaixo:
(d)
Considere os vetores . Determine o valor de para que o vetor seja ortogonal ao vetor