Determinar, se possível, uma matriz M in M2(R) de maneira que M^-1 AM seja diagonal, nos seguintes casos:
(cc2 & 4 3 & 13)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir se existe uma matriz de tamanho com números reais tal que, ao fazer , a matriz resultante seja diagonal. Isso está relacionado ao conteúdo de diagonalização de matrizes. Para resolver, vamos precisar encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz A = 2 & 4 3 & 13 . Valores próprios são números que satisfazem a equação det(A - lambda I) = det 2 - lambda & 4 3 & 13 - lambda , onde = (2 - lambda)(13 - lambda) - (4 times 3) é a matriz identidade e = (26 - 2lambda - 13lambda + lambda^2) - 12 representa os valores próprios.
A matriz = lambda^2 - 15lambda + 14 é:
lambda = 15 pm raiz225 - 562 = 15 pm raiz1692 = 15 pm 132
Então, calculamos o determinante de lambda1 = 15 + 132 = 14 e lambda2 = 15 - 132 = 1 :
Agora, resolvemos a equação quadrática :
Então, os valores próprios são:

Passo 3

Agora que temos os valores próprios (A - 14I)v = 0 e 2 - 14 & 4 3 & 13 - 14 v1 v2 = -12 & 4 3 & -1 v1 v2 = 0 0 , vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Para -12v1 + 4v2 = 0 Rightarrow 3v1 = v2 :
v1 = 1 3
(A - I)v = 0
Isso nos leva ao sistema:
2 - 1 & 4 3 & 13 - 1 v1 v2 = 1 & 4 3 & 12 v1 v2 = 0 0
Então, um vetor próprio correspondente a v1 + 4v2 = 0 Rightarrow v1 = -4v2 é:
v2 = -4 1
Para :
Isso nos leva ao sistema:
Então, um vetor próprio correspondente a é:

Passo 4

Agora que encontramos dois vetores próprios distintos ( 1 3 e -4 1 ), precisamos verificar se eles são linearmente independentes. Se forem, podemos formar a matriz M = 1 & -4 3 & 1 com esses vetores como colunas, e essa matriz será invertível.
Para verificar a independência, calculamos o determinante de det(M) = (1)(1) - (-4)(3) = 1 + 12 = 13 neq 0 :
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes, e a matriz é invertível.

Passo 5

Agora, podemos formar a matriz diagonal desejada D = 14 & 0 0 & 1 colocando os valores próprios na diagonal:
M^-1 A M = D
E, conforme a propriedade de diagonalização, temos:
Portanto, encontramos a matriz que diagonaliza .

Resposta

Sim, é possível diagonalizar a matriz M = 1 & -4 3 & 1 usando a matriz
M^-1 A M = 14 & 0 0 & 1
assim, temos

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