Determinar, se possível, uma matriz de maneira que seja diagonal, nos seguintes casos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir se existe uma matriz de tamanho com números reais tal que, ao fazer , a matriz resultante seja diagonal. Isso está relacionado ao conteúdo de diagonalização de matrizes. Para resolver, vamos precisar encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz . Valores próprios são números que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade e representa os valores próprios.
A matriz é:
Então, calculamos o determinante de :
Agora, resolvemos a equação quadrática :
Então, os valores próprios são:
Passo 3
Agora que temos os valores próprios e , vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Para :
Isso nos leva ao sistema:
Então, um vetor próprio correspondente a é:
Para :
Isso nos leva ao sistema:
Então, um vetor próprio correspondente a é:
Passo 4
Agora que encontramos dois vetores próprios distintos ( e ), precisamos verificar se eles são linearmente independentes. Se forem, podemos formar a matriz com esses vetores como colunas, e essa matriz será invertível.
Para verificar a independência, calculamos o determinante de :
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes, e a matriz é invertível.
Passo 5
Agora, podemos formar a matriz diagonal desejada colocando os valores próprios na diagonal:
E, conforme a propriedade de diagonalização, temos:
Portanto, encontramos a matriz que diagonaliza .
Resposta
Sim, é possível diagonalizar a matriz usando a matriz