Determinar, se possível, uma matriz
de maneira que
seja diagonal, nos seguintes casos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir se existe uma matriz
de tamanho
com números reais tal que, ao fazer
, a matriz resultante seja diagonal. Isso está relacionado ao conteúdo de diagonalização de matrizes. Para resolver, vamos precisar encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz
. Valores próprios são números que satisfazem a equação
, onde
é a matriz identidade e
representa os valores próprios.
A matriz
é:
Então, calculamos o determinante de
:
Agora, resolvemos a equação quadrática
:
Então, os valores próprios são:
Passo 3
Agora que temos os valores próprios
e
, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Para
:
Isso nos leva ao sistema:
Então, um vetor próprio correspondente a
é:
Para
:
Isso nos leva ao sistema:
Então, um vetor próprio correspondente a
é:
Passo 4
Agora que encontramos dois vetores próprios distintos (
e
), precisamos verificar se eles são linearmente independentes. Se forem, podemos formar a matriz
com esses vetores como colunas, e essa matriz será invertível.
Para verificar a independência, calculamos o determinante de
:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes, e a matriz
é invertível.
Passo 5
Agora, podemos formar a matriz diagonal desejada
colocando os valores próprios na diagonal:
E, conforme a propriedade de diagonalização, temos:
Portanto, encontramos a matriz
que diagonaliza
.
Resposta
Sim, é possível diagonalizar a matriz
usando a matriz
assim, temos