Nos exercícios 01 1 4, determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. T: R^4 R^4, T(x, y, z, t)=(2 x+y, 2 y, 2 z, 3 t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o polinômio característico do operador linear definido por . Além disso, queremos encontrar os autovalores, os autovetores e dar uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como matrizes, determinantes, polinômios característicos, autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear T(x, y, z, t) = 2x + y 2y 2z 3t como uma matriz. Como A = 2 & 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 3 mapeia em , teremos uma matriz de . Observando a definição de :
Podemos escrever a matriz correspondente:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o polinômio característico de A - lambda I = 2 - lambda & 1 & 0 & 0 0 & 2 - lambda & 0 & 0 0 & 0 & 2 - lambda & 0 0 & 0 & 0 & 3 - lambda . O polinômio característico é dado por det(A - lambda I) = (2 - lambda) times [(2 - lambda) times (2 - lambda) times (3 - lambda)] = (2 - lambda)^3 (3 - lambda) , onde p(lambda) = (2 - lambda)^3 (3 - lambda) é a matriz identidade e é um escalar.
Calculando o determinante:
Então, o polinômio característico é:

Passo 4

Para encontrar os autovalores, resolvemos (2 - lambda)^3 (3 - lambda) = 0 :
lambda1 = 2 com mu
Isso nos dá os autovalores:
lambda2 = 3 com mu

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor. Para cada A - 2I = 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 , resolvemos 0v1 + v2 + 0v3 + 0v4 = 0 0v1 + 0v2 + 0v3 + 0v4 = 0 0v1 + 0v2 + 0v3 + 0v4 = 0 0v1 + 0v2 + 0v3 + v4 = 0 .
Para v2 = 0 e v4 = 0 :
v = v1 0 v3 0 = v1 1 0 0 0 + v3 0 0 1 0
Resolvendo 1 0 0 0 , 0 0 1 0 , temos:
A - 3I = -1 & 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 0
Isso simplifica para:
- v1 + v2 = 0 - v2 = 0 - v3 = 0 0v1 + 0v2 + 0v3 + 0v4 = 0
As variáveis livres são v2 = 0 e v3 = 0 e - v1 + 0 = 0 Rightarrow v1 = 0 . Portanto, os autovetores são da forma:
v = 0 0 0 v4 = v4 0 0 0 1
Então, uma base para o autoespaço correspondente a 0 0 0 1 é:
E a dimensão desse autoespaço é 2.
Para :
Resolvendo , temos:
Isso simplifica para:
A única variável livre é . Portanto, os autovetores são da forma:
Então, uma base para o autoespaço correspondente a é:
E a dimensão desse autoespaço é 1.

Resposta

O polinômio característico de 1 0 0 0 é 0 0 1 0 . Os autovalores são 2 (com multiplicidade 3) e 3 (com multiplicidade 1). Para 0 0 0 1 , uma base do autoespaço é com dimensão 2. Para , uma base do autoespaço é com dimensão 1.

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