Nos exercícios , determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o polinômio característico do operador linear definido por . Além disso, queremos encontrar os autovalores, os autovetores e dar uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como matrizes, determinantes, polinômios característicos, autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear como uma matriz. Como mapeia em , teremos uma matriz de . Observando a definição de :
Podemos escrever a matriz correspondente:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o polinômio característico de . O polinômio característico é dado por , onde é a matriz identidade e é um escalar.
Calculando o determinante:
Então, o polinômio característico é:

Passo 4

Para encontrar os autovalores, resolvemos :
Isso nos dá os autovalores:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor. Para cada , resolvemos .
Para :
Resolvendo , temos:
Isso simplifica para:
As variáveis livres são e . Portanto, os autovetores são da forma:
Então, uma base para o autoespaço correspondente a é:
E a dimensão desse autoespaço é 2.
Para :
Resolvendo , temos:
Isso simplifica para:
A única variável livre é . Portanto, os autovetores são da forma:
Então, uma base para o autoespaço correspondente a é:
E a dimensão desse autoespaço é 1.

Resposta

O polinômio característico de é . Os autovalores são 2 (com multiplicidade 3) e 3 (com multiplicidade 1). Para , uma base do autoespaço é com dimensão 2. Para , uma base do autoespaço é com dimensão 1.

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(b)
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(d)
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