Nos exercícios , determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o polinômio característico do operador linear definido por . Além disso, queremos encontrar os autovalores, os autovetores e dar uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como matrizes, determinantes, polinômios característicos, autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador linear como uma matriz. Como mapeia em , teremos uma matriz de . Observando a definição de :
Podemos escrever a matriz correspondente:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o polinômio característico de . O polinômio característico é dado por , onde é a matriz identidade e é um escalar.
Calculando o determinante:
Então, o polinômio característico é:
Passo 4
Para encontrar os autovalores, resolvemos :
Isso nos dá os autovalores:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor. Para cada , resolvemos .
Para :
Resolvendo , temos:
Isso simplifica para:
As variáveis livres são e . Portanto, os autovetores são da forma:
Então, uma base para o autoespaço correspondente a é:
E a dimensão desse autoespaço é 2.
Para :
Resolvendo , temos:
Isso simplifica para:
A única variável livre é . Portanto, os autovetores são da forma:
Então, uma base para o autoespaço correspondente a é:
E a dimensão desse autoespaço é 1.
Resposta
O polinômio característico de é . Os autovalores são 2 (com multiplicidade 3) e 3 (com multiplicidade 1). Para , uma base do autoespaço é com dimensão 2. Para , uma base do autoespaço é com dimensão 1.