Prove as seguintes propriedades:
(d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai provar que a inversa da transposta de uma matriz é igual à transposta da inversa dessa matriz, ou seja:
Para isso, vamos usar conceitos de matrizes, especificamente as propriedades de transposição e inversão de matrizes. Precisamos saber que uma matriz inversa multiplicada pela matriz original dá a matriz identidade, e que a transposta de uma matriz troca linhas por colunas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição de matriz inversa. Se é uma matriz inversível, então existe uma matriz tal que:
onde é a matriz identidade.

Passo 3

Agora, vamos transpor ambos os lados da equação . Sabemos que a transposta de um produto de matrizes é igual ao produto das transpostas na ordem inversa. Ou seja:
Porque , já que a matriz identidade é simétrica.

Passo 4

A equação mostra que é a inversa de . Portanto, podemos concluir que:

Resposta

Assim, provamos que a inversa da transposta de é igual à transposta da inversa de :

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Nos exercícios , determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. .
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10)[Desafio] i) Mostre que a superfície de revolução obtida pela rotação do círculo contido no plano em torno do eixo obtemos uma superfície algébrica de grau 4, i.e., essa superfície é dada implicitamente por uma equação da forma onde é um polinômio de grau 4.
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