Prove as seguintes propriedades:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai provar que a inversa da transposta de uma matriz é igual à transposta da inversa dessa matriz, ou seja:
Para isso, vamos usar conceitos de matrizes, especificamente as propriedades de transposição e inversão de matrizes. Precisamos saber que uma matriz inversa multiplicada pela matriz original dá a matriz identidade, e que a transposta de uma matriz troca linhas por colunas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da definição de matriz inversa. Se
é uma matriz inversível, então existe uma matriz
tal que:
onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Agora, vamos transpor ambos os lados da equação
. Sabemos que a transposta de um produto de matrizes é igual ao produto das transpostas na ordem inversa. Ou seja:
Porque
, já que a matriz identidade é simétrica.
Passo 4
A equação
mostra que
é a inversa de
. Portanto, podemos concluir que:
Resposta
Assim, provamos que a inversa da transposta de
é igual à transposta da inversa de
:
Exercícios relacionados
Nos exercícios
, determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente.
.
Determinar, se possível, uma matriz
de maneira que
seja diagonal, nos seguintes casos:
10)[Desafio] i) Mostre que a superfície de revolução obtida pela rotação do círculo
contido no plano
em torno do eixo
obtemos uma superfície algébrica de grau 4, i.e., essa superfície é dada implicitamente por uma equação da forma
onde
é um polinômio de grau 4.
Determinar, se possível, uma matriz
de maneira que
seja diagonal, nos seguintes casos: