Prove as seguintes propriedades:
(d) (A^prime)^-1=(A^-1)^prime

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai provar que a inversa da transposta de uma matriz é igual à transposta da inversa dessa matriz, ou seja:
(A^prime)^-1 = (A^-1)^prime
Para isso, vamos usar conceitos de matrizes, especificamente as propriedades de transposição e inversão de matrizes. Precisamos saber que uma matriz inversa multiplicada pela matriz original dá a matriz identidade, e que a transposta de uma matriz troca linhas por colunas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição de matriz inversa. Se A cdot A^-1 = A^-1 cdot A = I é uma matriz inversível, então existe uma matriz tal que:
onde é a matriz identidade.

Passo 3

Agora, vamos transpor ambos os lados da equação (A cdot A^-1)^prime = I^prime . Sabemos que a transposta de um produto de matrizes é igual ao produto das transpostas na ordem inversa. Ou seja:
(A^-1)^prime cdot A^prime = I
Porque , já que a matriz identidade é simétrica.

Passo 4

A equação (A^prime)^-1 = (A^-1)^prime mostra que é a inversa de . Portanto, podemos concluir que:

Resposta

Assim, provamos que a inversa da transposta de (A^prime)^-1 = (A^-1)^prime é igual à transposta da inversa de :

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